用坐标表示向量的数量积
共636题

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题型：填空题

填空题

已知向量=（-2，1），=（6，x），若，则=（）。

正确答案

-15

题型：简答题

简答题

如图所示，已知圆C：(x+1)2+y2=8，定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E，

（1）求曲线E的方程；

（2）过点S（0，）且斜率为k的动直线l交曲线E于A、B两点，在y轴上是否存在定点G，满足使四边形NAPB为矩形？若存在，求出G的坐标和四边形NAPB面积的最大值；若不存在，说明理由。

正确答案

解：（1），

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|，

又，

∴，

∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，

且椭圆长轴长为，焦距2c=2，

∴，

∴曲线E的方程为。

（2）动直线l的方程为：，

由，得，

设，

则，

假设在y上存在定点G（0，m），满足题设，

则，

，

由假设得对于任意的恒成立，即，解得m=1。

因此，在y轴上存在定点G，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点G的坐标为（0，1），

这时，点G到AB的距离，

，

设，则，

得，

所以，

当且仅当时，上式等号成立。

因此，GAPB面积的最大值是。

题型：简答题

简答题

如图，以椭圆（a＞b＞0）的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A。连结OA交小圆于点B，设直线BF是小圆的切线，

（1）证明c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明。

正确答案

（1）证明：由题设条件知，，故，

即，因此； ①

解：在中，，

于是，直线OA的斜率，

设直线BF的斜率为k，则，

这时，直线BF的方程为，

令x=0，则，

所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）；

（2）证明：由（1），得直线BF的方程为y=kx+a，且，②

由已知，设，

则它们的坐标满足方程组， ③

由方程组③消去y，并整理得，④

由式①、②和④，，

由方程组③消去x，并整理得，⑤

由式②和⑤，；

综上，得到，

注意到，

得

。

题型：简答题

简答题

已知椭圆的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足，。

（1）设x为点P的横坐标，证明；

（2）求点T的轨迹C的方程；

（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2。若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）设点P的坐标为

由P在椭圆上，得

由，知

所以=。

（2）设点T的坐标为

当=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上

当||≠0且时，由得

又

所以T为线段F2Q的中点

在△QF1F2中，

所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是。

（3）C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是

由③得

由④得

所以当时，存在点M，使S=

当时，不存在满足条件的点M。

当时，

由

得。

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-2，0）、B（2，0），M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为，设动点M的轨迹为曲线C，

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过定点T（-1，0）的动直线l与曲线C交于P，Q两点，若，证明：为定值。

正确答案

解：（Ⅰ）设动点，

则，

，

即（）。

（Ⅱ）当l的斜率不存在时，，

若，；

当直线l的斜率存在时，设l的方程为，，

联立方程组，消去y得，

设，

则

，

。

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