用坐标表示向量的数量积
共636题

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题型：简答题

简答题

已知点P（x，y）与点A（-，0），B（，0）连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）。

（1）求点P的轨迹方程；

（2）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证：为常数。

正确答案

解：（1）直线PA和PB的斜率分别为与

依题意有

即

所求点P的轨迹方程为；

（2）令E（x1，y1），F（x2，y2），

设过点Q（2，0）的直线为y= k（x-2），

把它代入

得

由韦达定理，得

∴

当直线斜率不存在时，可得E、F的坐标为

此时

故为常数-1。

题型：简答题

简答题

已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，

（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；

（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）因为椭圆方程为，知，

∴，

设，

则，

又，

联立，解得，∴。

（Ⅱ）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，

设，

联立，

∴，

且，

∴，

又∠AOB为锐角，∴，∴，

∴，

又，∴，

∴。

题型：简答题

简答题

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线L，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）设椭圆方程为

则

又∵，即

∴

故椭圆方程为；

（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为的垂心，

设

∵

故

于是设直线l为，由得

∵

又

得

即

由韦达定理得

解得或（舍）

经检验符合条件。

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB∥OA，MA·AB=MB·BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

正确答案

解：(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1)，

所以=(-x，-1-y)，=(0，-3-y)，=(x，-2)，

再由题意得知，即(-x，-4-2y)·(x，-2)=0，

所以曲线C的方程式为y=x2-2。

(Ⅱ)设P(x0，y0)为曲线C：y=x2-2上一点，因为y′=x，

所以l的斜率为，

因此直线l的方程为，

即，

则O点到l的距离，

又，

所以，当=0时取等号，

所以O点到l距离的最小值为2。

题型：简答题

简答题

已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量，且。

（1）求tanA·tanB的值；

（2）求C的最大值，并判断此时△ABC的形状。

正确答案

解：（1）∵，

∴，

即，

∴，

∵，

∴。

（2）由，

知，

∴

，

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