热门试卷

解：（1）由题意，知双曲线C的焦点在x轴上，且c=2，a=，

∴b=1，

∴双曲线C的方程为。

（2）由题意，设，，

将直线l：代入双曲线，有

，

∵直线l与双曲线C恒有两个不同的交点A，B且，

∴，

，，

，

，

∴即，

化简，得：，

即或，

∴k的取值范围是{k|或}。

解：（Ⅰ）==cos2x，

||=，

因为x∈，

所以cosx≥0所以||=2cosx；

（Ⅱ）f(x)=-2λ||=cos2x-4λcosx=2cos2x-4λcosx-1=2(cosx-λ)2-1-2λ2，

令t=cosx∈[0，1]，

则f(x)=g(t)=2(t-λ)2-1-2λ2，

①当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，f(x)取得最小值，

g(λ)=-1-2λ2，即-1-2λ2=λ=；

②当λ＞1时，当且仅当t=1时，f(x)取得最小值，g(1)=1-4λ，

即1-4λ=λ=＜1不合题意，舍去；

综上，所以λ=。

解：（1）当直线l斜率存在时，

设过点F（3，0）的直线l的方程为：y=k(x-3)，

由，①代入②得：k2x2-(2+6k2)x+9k2=0，

设直线l与抛物线y2=2x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则，

，

∴原命题为真；

若直线l斜率不存在时，直线l与x轴垂直，

解方程组，得A、B坐标为，

∴；综上命题得证；

（2）（1）的逆命题为：“若，则直线l过点F（3，0）”，此命题为假命题，

事实上，设A，B（2，2），则A、B两点在抛物线上且，

但这时直线l方程为2x-3y+2=0，点F（3，0）并不在直线l上。

解：（Ⅰ）设动点P（x，y），

则，

由已知得，

化简得，，得，

所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为。

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，

不妨设过N的直线l的方程为y=k（x-1），

设A，B两点的坐标分别为，

由消去y得，

因为N在椭圆内，所以△＞0，

所以，

因为

，

所以，解得，

所以。