用坐标表示向量的数量积
共636题

· 用坐标表示向量的数量积

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题型：简答题

简答题

已知向量.

（Ⅰ）若求cos4x;

（Ⅱ）设△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程有且仅有一个实数根，求m的值.

正确答案

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）,

结合图象可得:

题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，已知=（-1，0），，=（cosθ，sinθ），其中。

（Ⅰ）若求tanθ；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）是否存在，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）由已知，得，

因为，所以，

所以；

（Ⅱ）由已知，得= （cosθ+1， sinθ），

所以

因为，

所以（当且仅当θ=0时，等号成立），

所以的最大值为2；

（Ⅲ）因为

又sinθ∈ [0，1]，cosθ∈ [0，1]，

所以≤2，≤2，

因为，

所以，若△ABC为钝角三角形，则∠C为钝角，此时，

由（Ⅱ）得，所以，反之，当时，，

又A，B，C三点不共线，所以△ABC为钝角三角形，

综上，当且仅当时，△ABC为钝角三角形。

题型：简答题

简答题

如图所示，已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=kx+b(b＞0)是圆的一条切线，且l与椭圆交于不同的两点A，B，

(Ⅰ)若△AOB的面积等于，求直线l的方程；

(Ⅱ)设△AOB的面积为S，且满足，求的取值范围．

正确答案

解：(Ⅰ)由题意可知：，

∴，

由，得，

∴，

而O到直线AB的距离为，

则有，得，

所求直线l的方程为。

(Ⅱ)由题意可知，

得，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴=

，

根据韦达定理得：，，

代入上式得：=，

∴。

题型：简答题

简答题

已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f （1﹣x）=f （1+x）成立，设向量=（sinx，2），=（2sinx，），=（cos2x，1），=（1，2）．

（1）分别求的取值范围；

（2）当x∈[0，∞]时，求不等式f（）＞f（）的解集．

正确答案

解：（1） =2sin2x+1≥1 =2cos2x+1≥1

（2）∵f（1-x）=f（1+x）

∴f（x）图象关于x=1对称

当二次项系数m＞0时，

f（x）在（1，+∞）内单调递增，

由f（）＞f（）＞，

即2sin2x+1＞2cos2x+1

又∵x∈[0，π]

∴x∈

当二次项系数m＜0时，f（x）在（1，+∞）内单调递减，

由f（）＞f（）＞，

即2sin2x+1＜2cos2x+1

又∵x∈[0，π]∴x∈ 、

故当m＞0时不等式的解集为（）；

当m＜0时不等式的解集为

题型：简答题

简答题

已知向量=（x-1，-1），b=（x-m，y），（m∈R），且·b=0。

（Ⅰ）将y表示为x的函数y=f（x）；

（Ⅱ）若tanA、tanB是方程f（x）+4=0的两个实根，A、B是锐角△ABC的两个内角，求证：m≥5；

（Ⅲ）对任意实数α ，恒有f（2+cosα）≤0，求证：m≥3。

正确答案

（Ⅰ）解：∵，

又∵，

∴，

∴。

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

则方程，即为，

依题意，得

，

又∵A，B为锐角三角形的两内角，

故，

∴。

即，

解得：。

（Ⅲ）证明：∵

对任意有，

即，恒有，即，

∴，但，

∴。

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