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题型:简答题
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简答题

已知向量.

(Ⅰ)若求cos4x;

(Ⅱ)设△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对应的角为x,若关于x的方程有且仅有一个实数根,求m的值.

正确答案

解:(Ⅰ)

(Ⅱ),

结合图象可得:

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题型:简答题
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简答题

在直角坐标系xOy中,已知=(-1,0),,=(cosθ,sinθ),其中

(Ⅰ)若求tanθ;

(Ⅱ)求的最大值;

(Ⅲ)是否存在,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出θ的取值范围;若不存在,说明理由。

正确答案

解:(Ⅰ)由已知,得

因为,所以

所以

(Ⅱ)由已知,得= (cosθ+1, sinθ),

所以

因为

所以(当且仅当θ=0时,等号成立),

所以的最大值为2;

(Ⅲ)因为

又sinθ∈ [0,1],cosθ∈ [0,1],

所以≤2,≤2,

因为

所以,若△ABC为钝角三角形,则∠C为钝角,此时

由(Ⅱ)得,所以,反之,当时,

又A,B,C三点不共线,所以△ABC为钝角三角形,

综上,当且仅当时,△ABC为钝角三角形。

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题型:简答题
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简答题

如图所示,已知圆O:x2+y2=1,直线l:y=kx+b(b>0)是圆的一条切线,且l与椭圆交于不同的两点A,B,

(Ⅰ)若△AOB的面积等于,求直线l的方程;

(Ⅱ)设△AOB的面积为S,且满足,求的取值范围.

正确答案

解:(Ⅰ)由题意可知:

,得

而O到直线AB的距离为

则有,得

所求直线l的方程为

(Ⅱ)由题意可知

设A(x1,y1),B(x2,y2),

=

根据韦达定理得:

代入上式得:=

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题型:简答题
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简答题

已知二次函数f(x) 对任意x∈R,都有f (1﹣x)=f (1+x)成立,设向量=(sinx,2),=(2sinx,),=(cos2x,1),=(1,2).

(1)分别求的取值范围;

(2)当x∈[0,∞]时,求不等式f()>f()的解集.

正确答案

解:(1) =2sin2x+1≥1     =2cos2x+1≥1

(2)∵f(1-x)=f(1+x)

∴f(x)图象关于x=1对称

当二次项系数m>0时,

f(x)在(1,+∞)内单调递增,

由f( )>f( ) > 

即2sin2x+1>2cos2x+1

又∵x∈[0,π]

∴x∈ 

当二次项系数m<0时,f(x)在(1,+∞)内单调递减,

由f( )>f(  > 

即2sin2x+1<2cos2x+1

又∵x∈[0,π]∴x∈ 、

故当m>0时不等式的解集为( );

当m<0时不等式的解集为  

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简答题

已知向量=(x-1,-1),b=(x-m,y),(m∈R),且·b=0。

(Ⅰ)将y表示为x的函数y=f(x);

(Ⅱ)若tanA、tanB是方程f(x)+4=0的两个实根,A、B是锐角△ABC的两个内角,求证:m≥5;

(Ⅲ)对任意实数α ,恒有f(2+cosα)≤0,求证:m≥3。

正确答案

(Ⅰ)解:∵

又∵

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

则方程,即为

依题意,得

又∵A,B为锐角三角形的两内角,

解得:

(Ⅲ)证明:∵

对任意

,恒有,即

,但

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