- 用坐标表示向量的数量积
- 共636题
已知向量.
(Ⅰ)若求cos4x;
(Ⅱ)设△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对应的角为x,若关于x的方程有且仅有一个实数根,求m的值.
正确答案
解:(Ⅰ)
(Ⅱ),
结合图象可得:
在直角坐标系xOy中,已知=(-1,0),
,=(cosθ,sinθ),其中
。
(Ⅰ)若求tanθ;
(Ⅱ)求的最大值;
(Ⅲ)是否存在,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出θ的取值范围;若不存在,说明理由。
正确答案
解:(Ⅰ)由已知,得,
因为,所以
,
所以;
(Ⅱ)由已知,得= (cosθ+1, sinθ),
所以
因为,
所以(当且仅当θ=0时,等号成立),
所以的最大值为2;
(Ⅲ)因为
又sinθ∈ [0,1],cosθ∈ [0,1],
所以≤2,
≤2,
因为,
所以,若△ABC为钝角三角形,则∠C为钝角,此时,
由(Ⅱ)得,所以
,反之,当
时,
,
又A,B,C三点不共线,所以△ABC为钝角三角形,
综上,当且仅当时,△ABC为钝角三角形。
如图所示,已知圆O:x2+y2=1,直线l:y=kx+b(b>0)是圆的一条切线,且l与椭圆交于不同的两点A,B,
(Ⅰ)若△AOB的面积等于,求直线l的方程;
(Ⅱ)设△AOB的面积为S,且满足,求
的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ)由题意可知:,
∴,
由,得
,
∴,
而O到直线AB的距离为,
则有,得
,
所求直线l的方程为。
(Ⅱ)由题意可知,
得,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴=
,
根据韦达定理得:,
,
代入上式得:=
,
∴。
已知二次函数f(x) 对任意x∈R,都有f (1﹣x)=f (1+x)成立,设向量=(sinx,2),
=(2sinx,
),
=(cos2x,1),
=(1,2).
(1)分别求的取值范围;
(2)当x∈[0,∞]时,求不等式f()>f(
)的解集.
正确答案
解:(1) =2sin2x+1≥1
=2cos2x+1≥1
(2)∵f(1-x)=f(1+x)
∴f(x)图象关于x=1对称
当二次项系数m>0时,
f(x)在(1,+∞)内单调递增,
由f( )>f(
)
>
,
即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π]
∴x∈
当二次项系数m<0时,f(x)在(1,+∞)内单调递减,
由f( )>f(
)
>
,
即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π]∴x∈ 、
故当m>0时不等式的解集为( );
当m<0时不等式的解集为
已知向量=(x-1,-1),b=(x-m,y),(m∈R),且·b=0。
(Ⅰ)将y表示为x的函数y=f(x);
(Ⅱ)若tanA、tanB是方程f(x)+4=0的两个实根,A、B是锐角△ABC的两个内角,求证:m≥5;
(Ⅲ)对任意实数α ,恒有f(2+cosα)≤0,求证:m≥3。
正确答案
(Ⅰ)解:∵,
又∵,
∴,
∴。
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,
则方程,即为
,
依题意,得
,
又∵A,B为锐角三角形的两内角,
故,
∴。
即,
解得:。
(Ⅲ)证明:∵
对任意有
,
即,恒有
,即
,
∴,但
,
∴。
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