- 用坐标表示向量的数量积
- 共636题
已知O为坐标原点，点M（3，2），若N（x，y）满足不等式组
正确答案
12
已知
正确答案
解：∵
∴不等式即是x+2＞m
∴
∴x（x+2）（x﹣m）＞0
①当m=﹣2时，原不等式得2x（x+2）2＞0∴3x＞0；即x＞0．
②当m＜﹣2时，原不等式得m＜x＜﹣2或x＞0．
综知m≤﹣2时，x的取值范围是（m，﹣2）∪（0，+∞）．
已知两点A，B分别在直线y=x和y=-x上运动，且
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆
正确答案
解：（1）设P（x，y），A（x1，x1），B（x2，-x2）
∵
∴P是线段AB的中点
∴
∵
∴
∴
∴化简得点P的轨迹C的方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，
∵l与C相切，
∴
∴
联立
设M （x1，y1），N（x2，y2），
则
∴
又
∴
当直线l的斜率不存在时，l的方程为
代入椭圆方程得
此时
综上所述，
圆x2+y2+2x-6y+3=0上两点P，Q关于直线kx+y-4=0对称，且
正确答案
解：由题，圆的方程可以化为
因为P，Q关于直线kx+y-4=0对称，P，Q在圆上，
所以直线kx+y-4=0经过圆心（-1，3），
所以-k+3-4=0，得k=-1，
所以直线PQ的斜率为-1，
于是可设其方程为y=-x+b，
与圆的方程联立得
消去y得：
设
于是
因为
所以
所以满足条件的直线不存在。
已知：点P是椭圆
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）是否存在该椭圆的切线l，使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆经过点F2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。
正确答案
解：（1）由椭圆方程知a2=4，b2=3，
∴a=2，
∴F1（-1，0），F2（1，0）
∵
∴点Q在F1P的延长线上，且有
∴点Q的轨迹C是圆，圆心为F1，半径为4
∴C的方程为（x+1）2+y2=16。
（2）假设存在该椭圆的切线l满足条件。
（i）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±2
当x=-2时，
此时AF2与BF2不垂直，
∴直线x=-2不适合
当x=2时，同理可知x=2也不适合。
（ii）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+n，
与椭圆方程联立消去y得（3+4k2）x2+8knx+4n2-12=0
由题意得△1=64k2n2-4（3+4k2）（4n2-12）=0，
化简得n2=4k2+3 ①
由
消去y得（1+k2）x2+（2+2kn）x+n2-15=0
在l与椭圆相切的条件下必有△2=（2+2kn）2 -4（1+k2）· （n2-15）>0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∵ AF2⊥BF2∴
∴（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，
又y1=kx1+n，y2=kx2+n，
∴（k2+1）x1x2+（kn-1）（x1+x2）+n2+1=0
∴
化简得n2=7k2+6， ②
由①②可得4k2+3=7k2+6
∴k2=-1不成立，
综上，直线l不存在。
扫码查看完整答案与解析