用坐标表示向量的数量积
共636题

· 用坐标表示向量的数量积

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题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-y=4相切，

（Ⅰ）求圆O的方程；

（Ⅱ）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，

即，

得圆O的方程为。

（Ⅱ）不妨设，由即得 A（-2，0），B（2，0），

设P（x，y），由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，

得，

即，

，

由于点P在圆O内，故，

由此得：y2＜1，

所以的取值范围为。

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，点A在圆x2+y2﹣2ax=0（a≠0）上，M点满足，M点的轨迹为曲线C．

（I）求曲线C的方程；

（II）若直线y=x﹣1与曲线C交于P、Q两点，且，求a的值．

正确答案

解：：（I）设M（x，y），A（x0，y0）

∵M点满足，

∴（x0，y0）=（x﹣x0，y﹣y0）

∴

∵点A在圆x2+y2﹣2ax=0（a≠0）上

∴（ x）2+（ y）2﹣2a× x=0（a≠0）

∴曲线C的方程为x2+y2﹣4ax=0（a≠0）；

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）

将直线y=x﹣1代入x2+y2﹣4ax=0，

整理得2x2﹣2（2a+1）x+1=0

∴ ，

∴

∵ ，

∴x1x2+y1y2=﹣1

∴

∴a=1．

当a=1时，△=62﹣8＞0

∴a的值为1．

题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线相切。

（1）求圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求的取值范围。

正确答案

解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，

则

得圆O的方程为x2+y2=4。

（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，

由x2=4即得A（-2，0），B（2，0），

设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，

得

即x2-y2=2

（-2-x，-y）·（2-x，-y）=x2-4+y2=2y2-2

由于点P在圆O内，故

由此得y2＜1

所以的取值范围为[-2，0）。

题型：简答题

简答题

已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；

（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；

（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则，解得

则圆C的方程为x2+y2=r2，

将点P的坐标代入得r2=2，

故圆C的方程为x2+y2=2

（Ⅱ）设Q（x，y），则x2+y2=2，

=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，

令x=cosθ，y=sinθ，

∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，

∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin（θ+）=﹣1，

所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．

（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，

故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），

由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0

因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，

故可得

同理，，

所以=kOP ，

所以，直线AB和OP一定平行

题型：简答题

简答题

过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，，

（1）求点P的轨迹方程；

（2）已知点F（0，1），是否存在实数λ使得？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）设，

由得：，

∴，

，

∴PA⊥PB，∴，

直线PA的方程是：，即，①

同理，直线PB的方程是：，②

由①②得：，

∴点P的轨迹方程是y=-1（x∈R）。

（2）由（1）得：，，

，

所以，

故存在λ=1使得。

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