- 用坐标表示向量的数量积
- 共636题
设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1·PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ)由题意易知
所以,
设P(x,y),则
=
因为x∈[﹣2,2],
故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值﹣2
当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1
(Ⅱ)显然直线x=0不满足题设条件,
可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立,消去y,
整理得:
∴
由得:
或
又
∴
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
=
=
∵,
即k2<4∴﹣2<k<2
故由①、②得:
或
.
已知椭圆的左顶点是A,过焦点F(c,0)(c>0,为椭圆的半焦距)作倾斜角为θ的直线(非x轴)交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别交直线
(称为椭圆的右准线)于P,Q两点.
(1)若当θ=30°时有,求椭圆的离心率;
(2)若离心率e=,求证:
为定值.
正确答案
解:(1)如图,作MM1,NN1垂直准线于M1,N1,NH垂直MM1于H,
设|NF|=m,则|FM|=3m,
根据椭圆的第二定义有:,
,
∴,
在Rt△NMH中,∠NMH=30°,
∴=cos30°,解得e=
.
(2)当时,
,
则椭圆方程化为:x2+2y2﹣2c2=0,准线:x=,
设MN的方程为x=ty+c,M(x1,y1),N(x2,y2),P(2c,yP),Q(2c,yQ),
由A,M,P三点共线,得,
,
由A,N,Q三点共线,得Q(),
,
,①
把x=ty+c代入x2+2y2﹣2c2=0,得(2+t2)y2+2cty﹣c2=0,
,
∴,②
=
=
==
.③
∵a=,
∴将②③代入①,整理得=0.
在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-)、(0,
)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,
(Ⅰ)写出C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时,?此时|
|的值是多少?
正确答案
解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,
点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴
,
故曲线C的方程为;
(Ⅱ)设,
其坐标满足,消去y并整理得
,
故,
,
而,
于是,
所以时,
;
当时,
,
,
而,
所以。
已知椭圆C:(m>0),经过其右焦点F且以
=(1,1)为方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点,M为线段AB的中点,设O为椭圆的中心,射线OM交椭圆C于N点。
(1)证明:;
(2)求的值。
正确答案
解:(1)∵,
∴
∴
∵直线l过焦点且与向量
平行
∴直线l的方程为:
将其代入椭圆C的方程,并整理可得: ①
设,
,
,
∵M是线段AB的中点,在方程①中由韦达定理,可得:
,
∴
设为OM延长线上的点,且M为O
的中点,则
,
且四边形OAB为平行四边形
将的坐标代入椭圆C方程的左端并化简得
∴点在椭圆C上,
与N点重合
∴四边形OANB为平行四边形
于是。
(2)
在方程①中由韦达定理,得
∴
∴。
已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1(-1,0)、F2(1,0)的距离之和为常数,曲线C的离心率e=. (1)求圆锥曲线C的方程;
(2)设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B,试证明在x轴上存在一个定点P,使的值是常数.
正确答案
解:(1)依题意,设曲线C的方程为(
),c=1,
,a=2,
,所求方程为
。
(2)当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-1),
由,得
,
从而,,
,
设P(t,0),
则
,
当,
时,对
,
;
当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=1,,
对,
,
即存在x轴上的点,使
的值为常数
。
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