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题型:简答题
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简答题

设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.

(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1·PF2的最大值和最小值;

(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.

正确答案

解:(Ⅰ)由题意易知

所以

设P(x,y),则

=

因为x∈[﹣2,2],

故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值﹣2

当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1

(Ⅱ)显然直线x=0不满足题设条件,

可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立,消去y,

整理得:

得:

又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4

=

=

即k2<4∴﹣2<k<2

故由①、②得:

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简答题

已知椭圆的左顶点是A,过焦点F(c,0)(c>0,为椭圆的半焦距)作倾斜角为θ的直线(非x轴)交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别交直线(称为椭圆的右准线)于P,Q两点.

(1)若当θ=30°时有,求椭圆的离心率;

(2)若离心率e=,求证:为定值.

正确答案

解:(1)如图,作MM1,NN1垂直准线于M1,N1,NH垂直MM1于H,

设|NF|=m,则|FM|=3m,

根据椭圆的第二定义有:

在Rt△NMH中,∠NMH=30°,

=cos30°,解得e=

(2)当时,

则椭圆方程化为:x2+2y2﹣2c2=0,准线:x=

设MN的方程为x=ty+c,M(x1,y1),N(x2,y2),P(2c,yP),Q(2c,yQ),

由A,M,P三点共线,得

由A,N,Q三点共线,得Q(),

,①

把x=ty+c代入x2+2y2﹣2c2=0,得(2+t2)y2+2cty﹣c2=0,

,②

=

=

==.③

∵a=

∴将②③代入①,整理得=0.

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简答题

在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-)、(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,

(Ⅰ)写出C的方程;

(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时,?此时||的值是多少?

正确答案

解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,

点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴

故曲线C的方程为

(Ⅱ)设

其坐标满足,消去y并整理得

于是

所以时,

时,

所以

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简答题

已知椭圆C:(m>0),经过其右焦点F且以=(1,1)为方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点,M为线段AB的中点,设O为椭圆的中心,射线OM交椭圆C于N点。

(1)证明:

(2)求的值。

正确答案

解:(1)∵

∵直线l过焦点且与向量平行

∴直线l的方程为:

将其代入椭圆C的方程,并整理可得:  ①

∵M是线段AB的中点,在方程①中由韦达定理,可得:

 

为OM延长线上的点,且M为O的中点,则

且四边形OAB为平行四边形

的坐标代入椭圆C方程的左端并化简得

点在椭圆C上,与N点重合

∴四边形OANB为平行四边形

于是

(2)

在方程①中由韦达定理,得

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简答题

已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1(-1,0)、F2(1,0)的距离之和为常数,曲线C的离心率e=. (1)求圆锥曲线C的方程;

(2)设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B,试证明在x轴上存在一个定点P,使的值是常数.

正确答案

解:(1)依题意,设曲线C的方程为),c=1,,a=2,

,所求方程为

(2)当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-1),

,得

从而,

设P(t,0),

时,对

当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=1,

即存在x轴上的点,使的值为常数

下一知识点 : 向量的模
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