用坐标表示向量的数量积
共636题

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题型：简答题

简答题

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由离心率为，可设，则

因为经过点A（2，1）

所以，解得，

所以a2=6，b2=3

所以椭圆方程为

（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣3），

直线l与椭圆的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）

由，消元整理得：（1+2k2）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0

△=（12k2）2﹣4（1+2k2）（18k2﹣6）＞0得 0≤k2＜1

，

∴=（x1﹣3，y1）（x2﹣3，y2）=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2 =（1+k2）[x1x2﹣3（x1+x2）+9]==

因为0≤k2＜1，

所以

所以的取值范围是（2，3]．

题型：简答题

简答题

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点P（1，），

（1）求C的标准方程；

（2）直线l与C交于A、B两点，M为AB中点，且AB=2MP，请问直线l是否经过某个定点，如果经过定点，求出点的坐标；如果不过定点，请说明理由。

正确答案

解：（1）由，

设C的标准方程为带入（1，），

解得C的方程为；

（2）若l斜率存在，设AB坐标，

l的方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得：，

则，

由AB=2MP得AP⊥PB，即，

则，

即，

而，

代入化简得，

或，

若，则过定点，不合题意，舍去；

若，则过定点；

若l斜率不存在，同样可以验证通过；

综上所述，l通过定点，此点坐标为。

题型：简答题

简答题

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点P（1，），

（1）求C的标准方程；

（2）直线l与C交于A、B两点，M为AB中点，且AB=2MP，请问直线l是否经过某个定点，如果经过定点，求出点的坐标；如果不过定点，请说明理由。

正确答案

解：（1）由，

设C的标准方程为带入（1，），

解得C的方程为；

（2）若l斜率存在，设AB坐标，

l的方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得：，

则，

由AB=2MP得AP⊥PB，即，

则，

即，

而，

代入化简得，

或，

若，则过定点，不合题意，舍去；

若，则过定点；

若l斜率不存在，同样可以验证通过；

综上所述，l通过定点，此点坐标为。

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．

①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；

②已知点，求证：为定值．

正确答案

（1）解：因为满足a2=b2+c2，，

根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，

可得．

从而可解得，

所以椭圆方程为

（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，

消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0

△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，

因为AB中点的横坐标为，所以，解得

②由①知，

所以 =

= =

题型：简答题

简答题

已知点F1，F2分别为椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为+1，且△PF1F2的最大面积为1。

（1）求椭圆C的方程。

（2）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点。对于任意的k∈R，是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。

正确答案

解：（1）由题意可知：a+c=+1 ，×2c×b=1，

有∵a2=b2+c2，

∴a2=2，b2=1，c2=1，

∴所求椭圆的方程为：；

（2）设直线l的方程为：y=k（x-1），

A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

联立消去y得：

则

∵，

∴

∴对任意x∈R，有为定值。

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