热门试卷

解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，c=ea=×=，

故b===，

所以，椭圆E的方程为+=1，即x2+3y2=5．

（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），

代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则

x1+x2=﹣，x1x2=；

∴=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣﹣，

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；

所以，存在点M（﹣，0）满足题意．

解：（1）设C的标准方程为（a，b>0），

则由题意，

又

因此a=2，

C的标准方程为

C的渐近线方程为

即x-2y=0和x+2y=0。

（2）如图，由题意点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4，

故点M，N均在直线xEx+4yEy=4上，

因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4

设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及

解得，

故

因为点E在双曲线上，有

所以。

解：（Ⅰ）由|PM|-|PN|=知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

实半轴长，

又半焦距c=2，故虚半轴长，

所以W的方程为。

（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（），，

当AB⊥x轴时，，

从而；

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，

与W的方程联立，消去y得，

故，

所以=

==

=，

又因为，

所以，从而，

综上，当AB⊥x轴时，取得最小值2。

解：（1）∵A（a，0），B（0，﹣b），

∴设直线AB：

∴，∴，

∴双曲线方程为：．

（2）∵双曲线方程为：，

∴，设P（x0，y0），

∴，，

∴==3．

B（0，﹣3）B1（0，3），

设M（x1，y1），N（x2，y2）

∴设直线l：y=kx﹣3，

∴，

∴3x2﹣（kx﹣3）2=9．（3﹣k2）x2+6kx﹣18=0，

∴

k2=5，即代入（1）有解，

∴．