- 用坐标表示向量的数量积
- 共636题
抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同）且满足k2+λk1=0（λ≠0且
λ≠-1），
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足
（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围。
正确答案
（Ⅰ）解：由抛物线C的方程
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为
直线PB的方程为
点
将②式代入①式得
于是
又点
将⑤式代入④式得
由已知得，
设点M的坐标为
由
将③式和⑥式代入上式得
所以线段PM的中点在y轴上。
（Ⅲ）解：因为点P（1，-1）在抛物线
抛物线的方程为
由③式知
将λ=1代入⑥式得
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
于是
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，
故必有
求得k1的取值范围为
又点A的纵坐标y1满足
故当
所以∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为
已知椭圆C1的方程为
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y=kx+
正确答案
解：（1）设双曲线C2的方程为
则a2=4-1=3，c2=4，
再由a2+b2=c2，得b2=1，
故C2的方程为
（2）将
得（1-3k2）x2-6
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则
∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+
=（k2+1）x1x2+
又∵
得x1x2+y1y2>2
∴
解得
由①②得
故k的取值范围为
已知抛物线C：y2=2px（p>0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q。
（1）若点P（0，2）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围。
正确答案
解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|，
∵∠PQF=90°，
∴A为PF 的中点，
∵
∴
所以抛物线方程为
（2）设A（x，y），y2=2px，根据题意
∠MAF为锐角
∵y2=2px，
所以得
令
①若
整理得
所以
②若
只要使
所以
由①②得m的取值范围是0＜m＜
如图，圆C1：（x﹣a）2+y2=r2（r＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）的一个交点
M（2，1），且抛物线在点M处的切线过圆心C1．
（Ⅰ）求C1和C2的标准方程；
（Ⅱ）若点N为圆C1上的一动点，求
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可得：把M（2，1）代入C2：x2=2py（p＞0），解得p=2，
所以C2：x2=4y
由
所以C2在点M处的切线方程为y﹣1=x﹣2，
令y=0有x=1．
因为抛物线在点M处的切线过圆心C1，所以圆心C1（1，0），
又因为M （2，1）在圆C1上所以（2﹣1）2+1=r2，
解得r2=2，
故C1：（x﹣1）2+y2=2
（Ⅱ）设N（x，y），则
所以
令x+y﹣1=t，代入（x﹣1）2+y2=2得（y﹣t）2+y2=2，
整理得2y2﹣2ty+t2﹣2=0
由△=4t2﹣8（t2﹣2）≥0得﹣2≤t≤2
所以
已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线x=-
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线l1：x=-
(3)记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN(A、B、M、N是(2)中的点)，
正确答案
解：(1) 设动点为P（x，y），
依据题意，有
因此，动点P所在曲线C的方程是：
(2) 由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意；
故可设直线l：x=my-1，如图所示，
联立方程组
则点
又AM⊥l1、BN⊥l1，可得点
于是，
因此
(3)依据(2)可算出，
所以，
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