用坐标表示向量的数量积
共636题

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题型：简答题

简答题

已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量满足，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0。

（1）证明线段AB是圆C的直径；

（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值。

正确答案

解：（1）∵

∴

即

整理得

∴ ①

设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则

即

展开上式并将①代入得

故线段AB是圆C的直径。

（2）设圆C的圆心为C（x，y），则

∵

∴

又∵

∴

∵

∴

所以圆心的轨迹方程为：

设圆心C到直线的距离为d，则

当时，d有最小值

由题设得

∴p=2。

题型：填空题

填空题

已知向量=（x-2，1），=（1，y），若⊥，则3x+3y的最小值为（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

设O为坐标原点，A（1，2），若点B（x，y）满足，则•取得最小值时，点B的坐标是______．

正确答案

先画出点B（x，y）满足的平面区域如图，

又因为 •=x+2y．

所以当在点C（2，1）处时，x+2y最小．

即满足要求的点是（2，1）．

故答案为：（2，1）．

题型：简答题

简答题

已知过点A（-1，0）的动直线与圆C：相交于P、Q两点，M是PQ的中点，与直线m：相交于N。

（1）当时，求直线的方程；

（2）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。

正确答案

解：（1）①当直线与x轴垂直时，易知x=-1符合题意；

②当直线与x轴不垂直时，

∵，

∴，

则由，解得：，

∴直线的方程为：，

故直线的方程为x=-1或。

（2）∵，

，

①当与x轴垂直时，易得，则，

又，

∴；

当的斜率存在时，设直线的方程为，

则由，

得N，则，

∴，

综上所述，与直线的斜率无关，且=-5。

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