用坐标表示向量的数量积
共636题

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题型：简答题

简答题

已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且|AB|=，动点P满足（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C。

（1）求曲线C的方程；

（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆交于M、N两点，求证：为定值。

正确答案

解：（1）∵

∴P为线段AB的中点

∵A，B分别在直线y=x和y=-x上

∴

又

∴

∴点P在以原点为圆心，为半径的圆上

∴点P的轨迹C的方程为；

（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m

∵l与C相切

∴

联立

∴

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，

又

∴·=0

当直线l的斜率不存在时，l的方程为

带入椭圆方程得或

此时，

综上所述为定值0。

题型：简答题

简答题

平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m）恒有公共点，且要求圆O的面积最小。

（1）写出圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内动点P使依次成等比数列，求的范围。

正确答案

解：（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）

由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，

所以圆O的方程为。

（2）由题意得A（-5，0），B（5，0），设P（x0，y0）

则

由成等比数列得

即

整理得

由①②得

因为

所以。

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（0，2）关于原点O对称，P是动点，AP⊥BP。

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=x+m与曲线C交于M、N两点，

ⅰ）若，求实数m取值；

ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆内，求实数m的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）∵点B与点A（0，2）关于原点O对称，

∴B（0，-2），

由AA1⊥BC知，点P的轨迹C是以原点O为圆心，以AB为直径的圆（不含A、B两点），

由OA=2，

故点P的轨迹C的方程为；

（Ⅱ）设直线：y=x+m与曲线C交于M（，）、N（，）两点，

联立方程组，得，

∴+=-m，·=，

ⅰ）∵，

∴，即。

ⅱ）∵点A在以线段MN为直径的圆内，

∴，

∵

∴，

∴。

题型：简答题

简答题

已知直线l：y=kx+1与圆C：x2+y2-4x-6y+12=0相交于M，N两点，

（1）求k的取值范围；

（2）若O为坐标原点，且，求k的值。

正确答案

解：（1），

，

∴；

（2）设，

则

，

又，，

∴原式，

解得k=1。

题型：简答题

简答题

已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2。

（1）若直线l与圆O相切，求k的值；

（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；

（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点。

正确答案

解：（1）由圆心O到直线l的距离

可得k=±1。

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，

整理，得（1+k2）·x2-4kx+2=0，

所以

Δ=（-4k）2-8（1+k2）>0，即k2>1

当∠AOB为锐角时，

则

可得k2＜3，

又因为k2>1，

故k的取值范围为或。

（3）设切点C，D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

动点P的坐标为（x0，y0），则过切点C的切线方程为：x·x1+y·y1=2，

所以x0·x1+y0·y1=2

同理，过切点D的切线方程为：x0·x2+y0·y2=2，

所以过C，D的直线方程为：x0·x+y0·y=2

又，将其代入上式并化简整理，

得，而x0∈R，

故且-2y-2=0，可得，y=-1，

即直线CD过定点。

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