用坐标表示向量的数量积
共636题

· 用坐标表示向量的数量积

用坐标表示向量的数量积
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题型：简答题

简答题

如图，椭圆C：焦点在x轴上，左、右顶点分别为A1，A，上顶点为B，抛物线C1，C2分别以A，B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线上一点P。

（1）求椭圆C及抛物线C1，C2的方程；

（2）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M，N，已知点，求的最小值。

正确答案

解：（1）由题意，A（a，0），，

故抛物线C1的方程可设为y2=4ax，C2的方程为

由，得a=4，

所以椭圆C：，

抛物线C1：y2=16x，抛物线C2：。

（2）由（1）知，直线OP的斜率为

所以直线l的斜率为

设直线l方程为

由消去y，整理得

因为动直线l与椭圆C交于不同两点，

所以Δ=128b2-20（8b2-16）>0，

解得

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则

因为

所以

因为，

所以当时，取得最小值，

其最小值等于。

题型：简答题

简答题

如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点。

（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围。

正确答案

解：（1）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形

所以

即1=

解得

因此，椭圆方程为；

（2）设

（i）当直线AB与x轴重合时

因此，恒有。

（ii）当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为代入

整理得

所以

因为

所以∠AOB恒为钝角

即恒成立

又

所以对m∈R恒成立，

即对m∈R成立

当m∈R时，最小值为0

所以

因为a>0，b>0

所以

即

解得a＞或a＜（舍去）

即a＞

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）。

题型：简答题

简答题

已知点，圆：与椭圆：有一个公共点，分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆相切．

（Ⅰ）求的值与椭圆的方程.

（Ⅱ）设为椭圆上的一个动点，求·的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）点代入圆方程，得．

∵＜3，

∴＝1．

圆：

设直线1的斜率为，则1：，

即．

∵直线1与圆相切，

∴．

解得．

当＝时，直线1与轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当＝时，直线1与轴的交点横坐标为－4，

∴＝4．1（－4，0），2（4，0）．

2＝1＋2＝，，2＝18，2＝2．

椭圆的方程为：．

（Ⅱ），

设（，），，．

∵，即，

而，

∴－18≤618．

则的取值范围是[0，36]．

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．

题型：简答题

简答题

已知椭圆的方程为，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，离心率e=，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点M(1，0)，且，求直线l的方程。

正确答案

解：(1)设椭圆的右焦点为(c，0)，

因为y2=8x的焦点坐标为(2，0)，所以c=2，

因为，所以，

故椭圆方程为：。

(2)由(1)得F(2，0)，设l的方程为y=k(x-2)(k≠0)，

代入得，

设，则，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，∴，

所以直线l的方程为或。

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为，

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程。

正确答案

解：(Ⅰ)，

∴，∴，

∴椭圆C的标准方程是。

(Ⅱ)由已知可得，

设，则，

∵，

∴，即，

代入，得：或，即A（0，-1）或A；

当A为（0，-1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为；

当A为时，，所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆，

由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为；

综上所述，△ABF的外接圆的方程为或。

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