热门试卷

解：（1）因为，

所以，即，

当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；

当m=1时，方程表示的是圆；

当m＞0且m≠1时，方程表示的是椭圆；

当m＜0时，方程表示的是双曲线；

（2）当时，轨迹E的方程为，

设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，

解方程组得，

即，

要使切线与轨迹E恒有两个交点A，B，

则使△=，

即，且，

，

要使，需使，

即，

所以，

所以又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为，，

所求的圆为；

当切线的斜率不存在时，切线为，

与交于点也满足OA⊥OB；

综上， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且。

（3）当时，轨迹E的方程为，

设直线l的方程为y=kx+t，因为直线l与圆C：(1＜R＜2)相切于A1，

由（2）知， ①

因为l与轨迹E只有一个公共点B1，

由（2）知得，

即有唯一解，

则△=，

即， ②

由①②得，此时A，B重合为B1(x1，y1)点，

由中，

所以，，

B1(x1，y1)点在椭圆上，所以，

所以，

在直角三角形OA1B1中，

，

因为当且仅当时取等号，

所以，

即当时，|A1B1|取得最大值，最大值为1。

解：(Ⅰ)由知，①

由知a=2c，②

又b2=a2-c2，

由①，②，③解得a2=4，b2=3，

故椭圆C的方程为。

(Ⅱ)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

假设使成立的直线l存在，

(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，

由l与n垂直相交于P点且，得，

即，

由得，

将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0，

由求根公式可得，，

0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，

将④，⑤代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0，

将m2=1+k2代入⑥并化简得-5(k2+1)=0，矛盾，即此时直线l不存在；

(ⅱ)当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1，

则A，B两点的坐标为或，，

当x=1时，；

当x=-1时，，

∴此时直线l也不存在；

综上可知，使成立的直线l不存在。

解：（1）由题意可知：a+c=+1，×2c×b=1，

∵a2=b2+c2∴a2=2，b2=1，c2=1

∴所求椭圆的方程为：

（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣1）

A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0

则

∴对于任意的=为定值．

解：（1）∵点M到，的距离之和是4，

∴M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，

其方程为，

（2）将y=kx+b，代入曲线C的方程，整理得，

因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，

所以，  ①

设，

则，  ②

且，  ③

显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），

所以，

由，得，

将②、③代入上式，整理得，

所以，即b=2k或，

经检验，都符合条件①

当b=2k时，直线l的方程为y=kx+2k，

显然，此时直线l经过定点（-2，0）点，即直线l经过点A，与题意不符；

当时，直线l的方程为，

显然，此时直线l经过定点点，且不过点A；

综上，k与b的关系是：，且直线l经过定点点．