热门试卷

解：（1）∵，=0，

∴NP为AM的垂直平分线，

∴|NA|=|NM|．

又∵|CN|+|NM|=2

∴|CN|+|AN|=2＞2

∴动点N的轨迹是以点C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆．

且椭圆长轴长为2a=2，焦距2c=2

∴a=，c=1，

∴b2=1

∴曲线E的方程为；

（2）动直线l的方程为：y=kx﹣与椭圆方程联立，

消元可得（2k2+1）x2﹣kx﹣=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

假设在y上存在定点G（0，m），满足题设，

则=（x1，y1﹣m），=（x2，y2﹣m），

∴=x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=

由假设得对于任意的k∈R，=0恒成立，

∴m2﹣1=0且9m2+m﹣15﹣0，解得m=1．

因此，在y轴上存在定点G，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点G的坐标为（0，1）

这时，点G到AB的距离d==

SGAPB=|AB|d==

设2k2+1=t，则，

得t∈[1，+∞），

所以SGAPB=≤，

当且仅当时，上式等号成立．

因此，四边形NAPB面积的最大值是．

解：（Ⅰ）由题意得，

结合，

所以，椭圆的方程为；

（Ⅱ）由，

设，

所以，

依题意，OM⊥ON，

易知，四边形为平行四边形，所以，

因为，

所以，

即，

将其整理为，

因为，

所以，

即。

解：（1）由知  ①

由知a=2c  ②

又b2=a2-c2， ③

由①②③解得a2=4，b2=3

故椭圆C的方程为；

（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

假设使成立的直线l存在

（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得

，即

∵

∴

即x1x2+y1y2=0

将y=kx+m代人椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0

由求根公式可得  ④

  ⑤

将④⑤代人上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m2（3+4k2）=0，⑥

将m2=1+k2代入⑥并化简得-5（k2+1）=0，矛盾

即此时直线l不存在。

（ii）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1

当x=1时，A，B，P的坐标分别为

∴

∴

当x=-1时，同理可得，矛盾

即此时直线l也不存在

综上可知，使成立的直线l不存在。

解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=，所以，设P（x，y），

则=

因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为为椭圆短轴端点时，有最小值-2，

当x=±2时，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1；

（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立，消去y，整理得：，

∴

由得：

或①

又

∴

又==

∵即

∴-2

故由①、②得或。