用坐标表示向量的数量积
共636题

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题型：简答题

简答题

已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）。

（1）证明·为常数；

（2）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程。

正确答案

解：由条件知，设，

（1）当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为，，

此时

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是

代入，有

则是上述方程的两个实根，

所以，，

于是

综上所述，为常数-1。

（2）设，则，，，，

由得：

即

于是的中点坐标为

当AB不与x轴垂直时，，即

又因为A，B两点在双曲线上，

所以，，两式相减得，

，

即

将代入上式，化简得

当AB与x轴垂直时，，求得，也满足上述方程

所以点M的轨迹方程是。

题型：简答题

简答题

已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）。点M（3，m）在双曲线上。

（1）求双曲线方程；

（2）求证：=0；

（3）求△F1MF2面积。

正确答案

解：（1）∵e=，

∴可设双曲线方程为x2-y2=λ

∵过点（4，-），

∴16-10=λ，即λ=6

∴双曲线方程为x2-y2=6。

（2）∵

∴

=-3+m2

∵M点在双曲线上，

∴9-m2=6，即m2-3=0

∴。

（3）△F1MF2的底|F1F2|=4，

由（2）知m=±

∴△F1MF2的高h=|m|=，

∴=6

题型：简答题

简答题

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

正确答案

解：（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1，

又∵，即，

∴a2=2，

故椭圆方程为。

（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则设，

∵M（0，1），F（1，0），故，

于是，设直线l为 y=x+m，

由，得，

∵，

又，

得，

即，

由韦达定理，得，

解得：或m=1（舍），

经检验符合条件。

题型：简答题

简答题

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点,离心率是

（I）求椭圆E的方程；

（II）过点C（﹣1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a= ，c=e·a= × = ，

故b= = = ，

所以，椭圆E的方程为 + =1，即x2+3y2=5．

（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），

代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），

则 x1+x2=﹣ ，x1x2= ；

∴ · =（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣ ﹣ ，

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣ ；

所以，存在点M（﹣ ，0）满足题意．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y=x，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l：交于M，N两点，

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）求证：为定值。

正确答案

解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为，

则，

∴所求双曲线方程为；

（Ⅱ）A1（-3，0），A2（3，0），F（5，0），

设P（x，y），，

∴（x+3，y），，

∵A1，P，M三点共线，

∴，

∴，即，

同理得，

∴，，

，

∴，

即=0（定值）。

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