用坐标表示向量的数量积
共636题

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题型：简答题

简答题

设已知点A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(，)．

（Ⅰ）若||=||，求角α的值；

（Ⅱ）若•=-1，求的值．

正确答案

（Ⅰ）解法一：∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），

∴=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3）． …（2分）

由||=||，得=．

即cosα=sinα． …（4分）

∵＜α＜，

∴α=．…（6分）

解法二：∵||=||，

∴点C在直线y=x上．…（3分）

则sinα=cosα． …（4分）

∵α∈（，），

∴α=．…（6分）

（Ⅱ）=

==2sinαcosα．…（8分）

由•=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．…（10分）

即 sinα+cosα=．

∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=-． …（12分）

∴=-．…（13分）

题型：简答题

简答题

在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足=(2b-c，cosC)，=(a，cosA)且∥．

（1）求角A的大小；

（2）若a=4，三角形ABC的面符号为S，求S的最大值．

正确答案

（1）∵=（2b-c，cosC），=（a，cosA），且∥，

∴（2b-c）cosA-accosC=0，…2′

∴（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，

∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，

在三角形ABC中，sinB＞0，

∴cosA=，故A=；…6′

（2）∵A=，a=4，

∴a2=b2+c2-2bccosA，即16=b2+c2-bc…8′

∴16=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时取等号），…10′

∴S=bcsinA≤×16×=4，…12′

题型：简答题

简答题

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，=(-，sinA)，=(cosA，1)，且⊥．

（1）求角A的大小；

（II）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

正确答案

（Ⅰ）因为=(-，sinA)，=(cosA，1)，且⊥，

所以•=-cosA+sinA=0，

所以tanA=，

∵A∈（0，π），

∴A=．

（Ⅱ）∵S△ABC=，且A=，

bc•=，故bc=4，…①

又cosA=且a=2，

∴=，从而b2+c2=8…②，

解①②得，b=c=2．

题型：简答题

简答题

已知∠A，∠B，∠C为△ABC的内角，向量=（sinA，cosA），=（，1）且•=1

（1）求∠A的大小；

（2）求sinB+sinC的取值范围．

正确答案

（1）•=sinA+cosA=2sin（A+ ）=1，∴sin（A+ ）=．

∵0＜A＜π，∴＜A+＜，∴A+=，∴A=．

（2）求sinB+sinC=sinB+sin（ -B）=cosB+ sinB=sin（B+ ）．

∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴＜sin（B+ ）≤1，

∴＜sinB+sinC≤1．

题型：简答题

简答题

已知=（cosx+sinx，sinx）．=（cosx-sinx，2cosx），设f（x）=•．

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）三角形ABC的三个角A，B，C所对边分别是a，b，c，且满足A=，f（B）=1，a+b=10，求边c．

正确答案

（1）∵f（x）=•=cos2x+sin2x=sin（2x+），…（3分）

∴由-+2kπ≤2x+≤+2kπ得由f（x）递增得：-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

∴函数f（x）的递增区间是[-+kπ，+kπ]，k∈Z． …（6分）

（2）由f（B）=1⇒sin（2B+）=及0＜B＜π得B=，…（8分）

设===k，则ksin+ksin=10，

∴k=10，k=4 …（10分）

所以c=ksinC=4sin（A+B）=4（sincos+cossin）=+．…（12分）

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