向量的模
共508题

· 向量的模

向量的模
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题型：简答题

简答题

设向量=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，4sinβ）

（1）若与-2垂直，求tan（α+β）的值；

（2）求|+|的最大值．

正确答案

（1）∵=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），由与-2垂直，∴•(-2)=•-2•=0，

即4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，∴tan（α+β）=2；

（2）∵=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，4sinβ）

则+=(sinβ+cosβ，4cosβ-sinβ)，

∴|+|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β

=17-30sinβcosβ=17-15sin2β，最大值为32，所以|+|的最大值为4．

题型：简答题

简答题

已知三点：A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）

①若a∈（-π，0），且||=||，求角α的值；

②若•=0，求

正确答案

（1）由已知||=||代入坐标得：

（3sinα-4）2+（3sinα）2=（3cosα）2+（3sinα-4）2即sinα=cosα，所以tanα=1，

因为a∈（-π，0），所以α=-

（2）由已知•=0代入坐标得：

（3cosα-4，3sinα）•（3cosα，3sinα-4）

=9cos2α-12cosα+9sin2α-12sinα

=9-12（sinα+cosα）=0

所以sinα+cosα=

平方得1+2sinα•cosα=

所以2sinα•cosα=-

又因为=

==2sinα•cosα=-

题型：简答题

简答题

已知向量=(cosα，sinα)(0＜α＜)，=(cosβ，sinβ)(-＜β＜0)|-|=，求sin（α-β）的值．

正确答案

解∵=(cosα，sinα)，=(cosβ，sinβ)

∴-=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)

∵|-|=

∴=

即 2-2cos(α-β)=

∴cos(α-β)=

∵0＜α＜，-＜β＜0

∴0＜α-β＜π

∴sin(α-β)===

题型：简答题

简答题

已知向量=（1，1），向量与向量的夹角为，且•=-1

（1）求向量；

（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，而向量p=(cosx，2cos2(-))，其中0＜x＜，试求|+|的取值范围．

正确答案

（1）令=(a，b)，则由•=-1得a+b=-1①

由向量与向量的夹角为，得a2+b2=1②

由①②解得或

∴=（-1，0）或=（0，-1），

（2）由向量与向量的夹角为，

得=（0，-1），

∴+=(cosx，2cos2(-)-1)=(cosx，cos(-x))，

∴|+|2=cos2x+cos2(-x)=+

=1+[cos2x+cos(-2x)]=1+cos(+2x)

∵0＜x＜，

∴＜+2x＜，

∴-1≤cos(+2x)≤，

∴≤1+cos(2x+)＜，

∴|+|∈[，)．

题型：简答题

简答题

设向量=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，-4sinβ）．

（1）若与-2垂直，求tan（α+β）的值；

（2）求|+|的最大值；

（3）若∥，求的值．

正确答案

（1）∵=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，-4sinβ）．

∴•=4cosαsinβ+4sinαcosβ=4sin(α+β)，•=4cos(α+β)，

∵•(-2)=0，

∴•=2•，

∴4sin（α+β）=8cos（α+β），

即tan（α+β）=2

（2）∵|+|==≤4，

即|+|的最大值为4

（3）∵∥∴16cosαcosβ-sinαsinβ=0，tanαtanβ=16，

==-

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