向量的模
共508题

· 向量的模

向量的模
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题型：简答题

简答题

已知向量=(4，5cosα)，=(3，-4tanα)，α∈(0，)，⊥，求：

（1）|+|

（2）cos(α+)的值．

正确答案

∵=(4，5cosα)，=(3，-4tanα)，⊥，

∴12-20cosαtanα=12-20sinα=0，

∴sinα=，又α∈（0，），

∴cosα==，tanα=，

（1）∵=(4，4)，=(3，-3)，

∴+=（7，1），

则|+|===5；

（2）∵sinα=，cosα=，

则cos（α+）=cosαcos-sinαsin=（-）=．

题型：简答题

简答题

已知：A（cosx，sinx），B（1，1），+=，f（x）=

|OC|

2．

（Ⅰ）求f（x）的对称轴和对称中心；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

正确答案

（Ⅰ）．由题设知，=（cosx，sinx），…（2分）

=（1，1），则 =+=（1+cosx，1+sinx）．…（3分）

∴f（x）=

|OC|

2=（1+cosx）2+（1+sinx）2 =3+2（sinx+cosx）=3+2sin（x+）．…（5分）

由x+=kπ+，k∈z，即对称轴是 x=kπ+，k∈z．…（7分）

对称中心横坐标满足x+=kπ，k∈z，

即 x=kπ-，k∈z，故对称中心是（kπ-，3），k∈z．…（9分）

（Ⅱ）当2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈z时，f（x）单调递增，…（10分）

即 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z，

∴f（x）的单增区间是[2kπ-，2kπ+]，k∈z．…（12分）

题型：填空题

填空题

设向量=（cos25°，sin25°），=（sin20°，cos20°），若t为实数，且=+t，则||的最小值为______．

正确答案

∵向量=（cos25°，sin25°），=（sin20°，cos20°），若t为实数，且=+t，

∴=+t=（ cos25°+tsin20°，sin25°+tcos20°）．

∴||===≥，

当且仅当t=-时，等号成立，

∴||的最小值为，

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知向量=(cos，sin)，=(cos，-sin)，x∈[-，]

（1）求证：(-)⊥(+)；

（2）|+|=，求sin2x的值．

正确答案

（1）∵=(cos，sin)，=(cos，-sin)

∴

2=cos2+sin2=1，

2=cos2+sin2=1（3分）

∴(-)•(+)=

2=0（4分）

∴(-)⊥(+)（5分）

（2）∵|+|==

=（8分）

又∵|+|=

∴cos2x=-（10分）

∵x∈[-，]

∴2x∈[-，π]

∴sin2x=（12分）

题型：简答题

简答题

设向量=(sinα，1-cosα)，=(sinβ，1+cosβ)，=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），若与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且θ1-θ2=，求tan（α-β）的值．

正确答案

∵=(sinα，1-cosα)，=(sinβ，1+cosβ)，=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），

故有 ||===2sin． ||===-2cos．

又由两个向量的数量积的定义可得 •=1-cosα=2sin2，•=1+cosβ=2cos2．

又 ||=1，∴cosθ1==sin，cosθ2==-cos，

即cosθ1=cos(-)，cosθ2=cos(π-)，

∵θ1、θ2∈（0，π），-∈(0，)，π-∈(0，)，

∴θ1=-，θ2=π-．

∵θ1-θ2=，∴(-)-(π-)=，∴=-，

∴tan=tan(-)=tan=，

∴tan(α-β)===．

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