- 向量的模
- 共508题
已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ).
(1)若||=|
|,求tanθ的值;
(2)若(+2
)•
=1,其中O为坐标原点,求sin2θ的值
正确答案
(1)∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)
∴=(2sinθ-1,cosθ),
=(2sinθ,cosθ-1)
∵||=|
|∴
=
∴2sinθ=cosθ∵cosθ≠0∴tanθ=(6分)
(2)∵=(1,0),
=(0,1),
=(2sinθ,cosθ)
∴+2
=(1,2)∵(
+2
)•
=1
∴2sinθ+2cosθ=1∴sinθ+cosθ=
∴(sinθ+cosθ)2=∴sin2θ=-
(12分)
已知=(cosα,sinα),
=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|-
|=
,求证:
⊥
;
(2)设=(0,1),若
+
=
,求α,β的值.
正确答案
(1)由=(cosα,sinα),
=(cosβ,sinβ),
则-
=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),
由|-
|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2,
得cosαcosβ+sinαsinβ=0.
所以•
=0.即
⊥
;
(2)由+
=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)
得,①2+②2得:cos(α-β)=-
.
因为0<β<α<π,所以0<α-β<π.
所以α-β=π,α=
π+β,
代入②得:sin(π+β)+sinβ=
cosβ+
sinβ=sin(
+β)=1.
因为<
+β<
π.所以
+β=
.
所以,α=π,β=
.
(理)已知向量=(1,1),向量
和向量
的夹角为
,|
|=
,
•
=-1.
(1)求向量;
(2)若向量与向量
=(1,0)的夹角为
,向量
=(cosA,2cos2
),其中A、B、C为△ABC的内角a、b、c为三边,b2+ac=a2+c2,求|
+
|的取值范围.
正确答案
(1)设=(x,y),由
•
=-1得x+y=-1,
又∵和
的夹角为
,,
•
=|
||n|cos
=-1,
∴||=1⇒x2+y2=1,
解方程组,可解得
=(-1,0)或(0,-1).
(2)由与
=(1,0)的夹角为
知
=(0,-1),
由b2+ac=a2+c2⇔∠B=得∠A+∠C=
,
则|+
|2=cos2A+(2cos2
-1)2=cos2A+cos2C=
+
=1+[cos2A+cos(
-2A)]=1+
(
cos2A-
sin2A)=1+
cos(2A+
).
0<A<⇒
<2A+
<
⇒
≤1+
cos(2A+
)<
,
∴|+
|的取值范围为[
,
).
已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(α,β∈(0,)),且|a+b|=|a-b|,则tanα•tanβ=______.
正确答案
由|a+b|=|a-b|,得|a+b|2=|a-b|2,
∴4a•b=0,即a•b=0,
∴a•b=cosαcosβ+sinαsinβ=0,
有1+tanα•tanβ=0,即tanα•tanβ=-1.
故答案为-1
在△ABC中,已知A(3,1),B(1,0),C(2,3),
(1)判断△ABC的形状;
(2)若线段BA的延长线上存在点P,使||=
|
|,求P点坐标.
正确答案
(1)∵在△ABC中,已知A(3,1),B(1,0),C(2,3),
∴=(-2,-1),
=(-1,2),
•
=0,
∴||=|
|=
,
⊥
,∴△ABC的形状是等腰直角三角形.
(2)设点P(a,b),则=(a,b)-(3,1)=(a-3,b-1).
∵由题意可得=
,即(a-3,b-1)=
(2,1 )=(1,
),
∴a-3=1,b-1=,解得 a=4,b=
,
故P点坐标为(4,).
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