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题型:简答题
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简答题

已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ).

(1)若||=||,求tanθ的值;

(2)若(+2)•=1,其中O为坐标原点,求sin2θ的值

正确答案

(1)∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)

=(2sinθ-1,cosθ),=(2sinθ,cosθ-1)

∵||=||∴=

∴2sinθ=cosθ∵cosθ≠0∴tanθ=(6分)

(2)∵=(1,0),=(0,1),=(2sinθ,cosθ)

+2=(1,2)∵(+2)•=1

∴2sinθ+2cosθ=1∴sinθ+cosθ=

∴(sinθ+cosθ)2=∴sin2θ=-(12分)

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题型:简答题
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简答题

已知=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.

(1)若|-|=,求证:

(2)设=(0,1),若+=,求α,β的值.

正确答案

(1)由=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),

-=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),

由|-|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2,

得cosαcosβ+sinαsinβ=0.

所以=0.即

(2)由+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)

,①2+②2得:cos(α-β)=-

因为0<β<α<π,所以0<α-β<π.

所以α-β=π,α=π+β,

代入②得:sin(π+β)+sinβ=cosβ+sinβ=sin(+β)=1.

因为+β<π.所以+β=

所以,α=π,β=

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题型:简答题
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简答题

(理)已知向量=(1,1),向量和向量的夹角为,||==-1.

(1)求向量

(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为,向量=(cosA,2cos2),其中A、B、C为△ABC的内角a、b、c为三边,b2+ac=a2+c2,求|+|的取值范围.

正确答案

(1)设=(x,y),由=-1得x+y=-1,

又∵的夹角为,,=|||n|cos=-1,

∴||=1⇒x2+y2=1,

解方程组,可解得=(-1,0)或(0,-1).

(2)由=(1,0)的夹角为=(0,-1),

由b2+ac=a2+c2⇔∠B=得∠A+∠C=

则|+|2=cos2A+(2cos2-1)2=cos2A+cos2C=+

=1+[cos2A+cos(-2A)]=1+(cos2A-sin2A)=1+cos(2A+).

0<A<<2A+≤1+cos(2A+)<

∴|+|的取值范围为[).

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题型:填空题
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填空题

已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(α,β∈(0,)),且|a+b|=|a-b|,则tanα•tanβ=______.

正确答案

由|a+b|=|a-b|,得|a+b|2=|a-b|2

∴4a•b=0,即a•b=0,

∴a•b=cosαcosβ+sinαsinβ=0,

有1+tanα•tanβ=0,即tanα•tanβ=-1.

故答案为-1

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,已知A(3,1),B(1,0),C(2,3),

(1)判断△ABC的形状;

(2)若线段BA的延长线上存在点P,使||=||,求P点坐标.

正确答案

(1)∵在△ABC中,已知A(3,1),B(1,0),C(2,3),

=(-2,-1),=(-1,2),=0,

∴||=||=,∴△ABC的形状是等腰直角三角形.

(2)设点P(a,b),则=(a,b)-(3,1)=(a-3,b-1).

∵由题意可得=,即(a-3,b-1)=(2,1 )=(1,),

∴a-3=1,b-1=,解得 a=4,b=

故P点坐标为(4,).

下一知识点 : 数量积表示两个向量的夹角
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