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题型:简答题
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简答题

已知向量=(cosx,sinx),=(cos,-sin),x∈[0,].

(1)求及|+|;

(2)求函数f(x)=-2|+|值域.

正确答案

(1)=cosx•cosx-sinx•sinx=cos(x+x)=cos2x.

∵(+2=(cosx+cosx)2+(sinx-sinx)2=2+2(cosx•cosx-sinx•sinx)

=2+2cos2x=2+2(2cos2x-1)=4cos2x

且x∈[0,]

∴|+|=2cosx.

(2)由(1)知f(x)=-2|+|=cos2x-4cosx

=2cos2x-4cosx-1=2(cosx-1)2-3

∵x∈[0,]∴cosx∈[0,1]

∴函数f(x)=-2|+|值域是[-3,-1].

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题型:简答题
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简答题

已知A、B、C坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈(0,π)

(1)若||=||,求角α;

(2)若=-1,求的值.

正确答案

(1)∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3).…(2分)

∴||==

||==,…(4分)

∵||=||,

∴sinα=cosα,

又 α∈(0,π),

∴α=.                   …(6分)

(2)由=-1,

知:(cosα-3)cosα+(sinα-3)sinα=-1.

∴sinα+cosα=,∴2sinα•cosα=-

又 α∈(0,π),

∴sinα>0,cosα<0,

∴sinα-cosα=    …(8分)

===   …(10分)

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简答题

已知向量=(cos,sin),=(cos,-sin),=(,-1),其中x∈R.

(I)当时,求x值的集合;

(Ⅱ)求|-|的最大值.

正确答案

(I)由=0,(2分)

即coscos-sinsin=0,得cos2x=0,(5分)

则2x=kπ+(k∈Z),∴x=+(k∈Z),

∴当时,x值的集合为{x|x=+(k∈Z)};(7分)

(Ⅱ)|-|2=(-2=2-2+2=||2-2+||2,(9分)

又||2=(cos2+(sin2=1,||2=(2+(-1)2=4,

=cos-sin=2(cos-sin)=2cos(+),

∴|-|2=1-4cos(+)+4=5-4cos(+),(13分)

∴|-|2max=9,∴|-|max=3,

即|-|的最大值为3.(15分)

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简答题

定义非零向量=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R),向量=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.

(1)设h(x)=cos(x+)-2cos(x+a)(a∈R),求证:h(x)∈S;

(2)求(1)中函数h(x)的“相伴向量”模的取值范围;

(3)已知点M(a,b)(b≠0)满足:(a-)2+(b-1)2=1上一点,向量的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M运动时,求tan2x0的取值范围.

正确答案

(1)∵h(x)=cos(x+)-2cos(x+a)=(2sina-)sinx+(-2cosa)cosx

∴函数h(x)的相伴向量=(2sina--2cosa),

∴h(x)∈S…(4分)

(2)∵||=

=

=

∴||max==3,||min==1

∴||的取值范围为[1,3]…(10分)

(3)的相伴函数f(x)=asinx+bcosx=sin(x+φ),

其中cosφ=,sinφ=

当x+φ=2kπ+,k∈Z即x0=2kπ+-φ,k∈Z时f(x)取得最大值,

∴tanx0=tan(2kπ+-φ)=cotφ=

∴tan2x0===

为直线OM率,由几何意义知∈(0,]

令m=,tan2x0=,m∈(0,]

∵m∈(0,],故,-≤-

∴m-∈(-∞,],

∴tan2x0∈(-∞,0)∪[,+∞)…(18分)

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题型:简答题
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简答题

已知向量=(1,1),=(1,0),<>==-1;若△ABC的内角A,B,C依次成等差数列,且A≤B≤C;

(1)若关于x的方程sin(2x+ )= 在[0,B]上有相异实根,求实数m的取值范围;

(2)若向量=(cosA,2cos2),试求|+|的取值范围.

正确答案

(1)∵2B=A+C 且A+B+C=π,∴B=. 令y=sin(2x+ ),x∈[0,],则 2x+∈[,π],∴y=sin(2x+)∈[0,1].

∵关于x的方程sin(2x+ )= 在[0,]上有相异实根,所以y=sin(2x+ )∈[,1 ),即∈[,1]

所以m∈[2).

(2)令=(x,y),∵=(1,1),=-1,所以x+y=-1.

=(1,0),<>=,所以=0,即x=0,故y=-1,

所以=(0,-1),=(cosA,2cos2  )=(cosA,1+cosC).

所以|+|2=cos2A+cos2C=cos2A+cos2- A)=1+cos(2A+ ).

由A∈(0,],得2A+∈(,π],得cos(2A+ )∈[-1, ),

∴|+|2∈[ ),故|+|∈[ ).

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