- 向量的模
- 共508题
已知向量=(cos
x,sin
x),
=(cos
,-sin
),x∈[0,
].
(1)求•
及|
+
|;
(2)求函数f(x)=•
-2|
+
|值域.
正确答案
(1)•
=cos
x•cos
x-sin
x•sin
x=cos(
x+
x)=cos2x.
∵(+
)2=(cos
x+cos
x)2+(sin
x-sin
x)2=2+2(cos
x•cos
x-sin
x•sin
x)
=2+2cos2x=2+2(2cos2x-1)=4cos2x
且x∈[0,]
∴|+
|=2cosx.
(2)由(1)知f(x)=•
-2|
+
|=cos2x-4cosx
=2cos2x-4cosx-1=2(cosx-1)2-3
∵x∈[0,]∴cosx∈[0,1]
∴函数f(x)=•
-2|
+
|值域是[-3,-1].
已知A、B、C坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈(0,π)
(1)若||=|
|,求角α;
(2)若•
=-1,求
的值.
正确答案
(1)∵=(cosα-3,sinα),
=(cosα,sinα-3).…(2分)
∴||=
=
,
||=
=
,…(4分)
∵||=|
|,
∴sinα=cosα,
又 α∈(0,π),
∴α=. …(6分)
(2)由•
=-1,
知:(cosα-3)cosα+(sinα-3)sinα=-1.
∴sinα+cosα=,∴2sinα•cosα=-
又 α∈(0,π),
∴sinα>0,cosα<0,
∴sinα-cosα= …(8分)
=
=
=
…(10分)
已知向量=(cos
,sin
),
=(cos
,-sin
),
=(
,-1),其中x∈R.
(I)当⊥
时,求x值的集合;
(Ⅱ)求|-
|的最大值.
正确答案
(I)由⊥
⇒
•
=0,(2分)
即coscos
-sin
sin
=0,得cos2x=0,(5分)
则2x=kπ+(k∈Z),∴x=
+
(k∈Z),
∴当⊥
时,x值的集合为{x|x=
+
(k∈Z)};(7分)
(Ⅱ)|-
|2=(
-
)2=
2-2
+
2=|
|2-2
+|
|2,(9分)
又||2=(cos
)2+(sin
)2=1,|
|2=(
)2+(-1)2=4,
•
=
cos
-sin
=2(
cos
-
sin
)=2cos(
+
),
∴|-
|2=1-4cos(
+
)+4=5-4cos(
+
),(13分)
∴|-
|2max=9,∴|
-
|max=3,
即|-
|的最大值为3.(15分)
定义非零向量=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R),向量
=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设h(x)=cos(x+)-2cos(x+a)(a∈R),求证:h(x)∈S;
(2)求(1)中函数h(x)的“相伴向量”模的取值范围;
(3)已知点M(a,b)(b≠0)满足:(a-)2+(b-1)2=1上一点,向量
的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M运动时,求tan2x0的取值范围.
正确答案
(1)∵h(x)=cos(x+)-2cos(x+a)=(2sina-
)sinx+(
-2cosa)cosx
∴函数h(x)的相伴向量=(2sina-
,
-2cosa),
∴h(x)∈S…(4分)
(2)∵||=
=
=
∴||max=
=3,|
|min=
=1
∴||的取值范围为[1,3]…(10分)
(3)的相伴函数f(x)=asinx+bcosx=
sin(x+φ),
其中cosφ=,sinφ=
当x+φ=2kπ+,k∈Z即x0=2kπ+
-φ,k∈Z时f(x)取得最大值,
∴tanx0=tan(2kπ+-φ)=cotφ=
,
∴tan2x0==
=
.
∵为直线OM率,由几何意义知
∈(0,
]
令m=,tan2x0=
,m∈(0,
]
∵m∈(0,],故
≥
,-
≤-
,
∴m-∈(-∞,
],
∴tan2x0∈(-∞,0)∪[,+∞)…(18分)
已知向量=(1,1),
=(1,0),<
,
>=
且
•
=-1;若△ABC的内角A,B,C依次成等差数列,且A≤B≤C;
(1)若关于x的方程sin(2x+ )=
在[0,B]上有相异实根,求实数m的取值范围;
(2)若向量=(cosA,2cos2
),试求|
+
|的取值范围.
正确答案
(1)∵2B=A+C 且A+B+C=π,∴B=. 令y=sin(2x+
),x∈[0,
],则 2x+
∈[
,π],∴y=sin(2x+
)∈[0,1].
∵关于x的方程sin(2x+ )=
在[0,
]上有相异实根,所以y=sin(2x+
)∈[
,1 ),即
∈[
,1]
所以m∈[2).
(2)令=(x,y),∵
=(1,1),
•
=-1,所以x+y=-1.
又=(1,0),<
,
>=
,所以
•
=0,即x=0,故y=-1,
所以=(0,-1),
=(cosA,2cos2
)=(cosA,1+cosC).
所以|+
|2=cos2A+cos2C=cos2A+cos2(
- A)=1+
cos(2A+
).
由A∈(0,],得2A+
∈(
,π],得cos(2A+
)∈[-1,
),
∴|+
|2∈[
,
),故|
+
|∈[
,
).
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