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题型:填空题
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填空题

在△ABC中,已知|AB|=2,=,则△ABC面积的最大值为______.

正确答案

由题意可得:|AC|=|BC|,

设△ABC三边分别为2,a,a,三角形面积为S,

所以设p=

所以根据海仑公式得:S==

所以16S2=-a4+24a2-16=-(a2-12)2+128,

当a2=12时,即当a=2时,△ABC的面积有最大值,并且最大值为2

故答案为2

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且=tanAcotB.

(1)证明:sin2A=sin2B;

(2)若a=3,b=4,求|+|的值;

(3)若C=60°,△ABC的面积为,求++的值.

正确答案

(1)证明:由=tanAcotB

得sinAcosA=sinBcosB

∴sin2A=sin2B

(2)由上题知sin2A=sin2B及a≠b

得2A+2B=π

∴A+B=,c==5

∴|+|2=||2+||2+2=9+16

∴|+|=5

(3)由(1)知A=B或A+B=又∵C=

∴A=B=C=即△ABC为等边三角形

a2=∴a2=4,a=2

++=3×2×2cosπ=-6

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题型:填空题
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填空题

已知向量=(1,0),=(1,1),则

(Ⅰ)与2+同向的单位向量的坐标表示为______;

(Ⅱ)向量-3与向量夹角的余弦值为______.

正确答案

(I)∵=(1,0),=(1,1)

∴2+=(2,0)+(1,1)=(3,1),|2+|=

∴与2+同向的单位向量的坐标表示=()

(II)设-3与向量夹角θ

=(1,0),=(1,1),

-3=(1,1)-(3,0)=(-2,1),

∴(-3)•=-2,|-3|==,||=1

则cosθ===-

故答案为:();-

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题型:填空题
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填空题

已知||=1,且满足|+|=|-2|,则向量方向上的投影等于______.

正确答案

∵|+|=|-2|,

∴(

a

+

e

)2=(

a

-2

e

)2

a

2 +2+

e

2=

a

2 -4+4

e

2

 =

又∵||=1

∴向量方向上的投影为:=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

设动点M的坐标为(x,y)(x、y∈R),向量=(x-2,y),=(x+2,y),且|a|+|b|=8,

(I)求动点M(x,y)的轨迹C的方程;

(Ⅱ)过点N(0,2)作直线l与曲线C交于A、B两点,若=+(O为坐标原点),是否存在直线l,使得四边形OAPB为矩形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.

正确答案

(I)因为|a|+|b|=8,所以+=8.

所以动点M的轨迹是到定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为8的椭圆.

则曲线C的方程是+=1.

(Ⅱ)因为直线l过点N(0,2),若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=0,与椭圆的两个交点A、B为椭圆的顶点.

=+,则P与O重合,与OAPB为四边形矛盾.

若直线l的斜率存在,设方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

得(4k2+3)x2+16kx-32=0.

△=256k2+128(4k2+3)>0恒成立.

由根与系数关系得:x1+x2=-,x1x2=

因为=+,所以四边形OAPB为平行四边形.

若存在直线l使四边形OAPB为矩形,则,即=0.

所以x1x2+y1y2=0.

所以(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0.

即(1+k2)(-)-2k•+4=0.

化简得:12k2+5=0.与斜率存在矛盾.

则不存在直线l,使得四边形OAPB为矩形.

下一知识点 : 数量积表示两个向量的夹角
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