向量的模
共508题

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向量的模
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题型：填空题

填空题

在△ABC中，已知|AB|=2，=，则△ABC面积的最大值为______．

正确答案

由题意可得：|AC|=|BC|，

设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，

所以设p=

所以根据海仑公式得：S==•，

所以16S2=-a4+24a2-16=-（a2-12）2+128，

当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．

故答案为2．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且=tanAcotB．

（1）证明：sin2A=sin2B；

（2）若a=3，b=4，求|+|的值；

（3）若C=60°，△ABC的面积为，求•+•+•的值．

正确答案

（1）证明：由=tanAcotB

得sinAcosA=sinBcosB

∴sin2A=sin2B

（2）由上题知sin2A=sin2B及a≠b

得2A+2B=π

∴A+B=，c==5

∴|+|2=||2+||2+2=9+16

∴|+|=5

（3）由（1）知A=B或A+B=又∵C=

∴A=B=C=即△ABC为等边三角形

又a2=∴a2=4，a=2

∴•+•+•=3×2×2cosπ=-6

题型：填空题

填空题

已知向量=（1，0），=（1，1），则

（Ⅰ）与2+同向的单位向量的坐标表示为______；

（Ⅱ）向量-3与向量夹角的余弦值为______．

正确答案

（I）∵=（1，0），=（1，1）

∴2+=（2，0）+（1，1）=（3，1），|2+|=

∴与2+同向的单位向量的坐标表示=(，)

（II）设-3与向量夹角θ

∵=（1，0），=（1，1），

∴-3=(1，1)-(3，0)=(-2，1)，

∴(-3)•=-2，|-3|==，||=1

则cosθ===-

故答案为：(，)；-

题型：填空题

填空题

已知||=1，且满足|+|=|-2|，则向量在方向上的投影等于______．

正确答案

∵|+|=|-2|，

∴(

)2=(

-2

∴

2 +2+

2 -4+4

2，

∴ =

又∵||=1

∴向量在方向上的投影为：=

故答案为：

题型：简答题

简答题

设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x-2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，

（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若=+（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

正确答案

（I）因为|a|+|b|=8，所以+=8．

所以动点M的轨迹是到定点F1（-2，0），F2（2，0）的距离之和为8的椭圆．

则曲线C的方程是+=1．

（Ⅱ）因为直线l过点N（0，2），若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=0，与椭圆的两个交点A、B为椭圆的顶点．

由=+，则P与O重合，与OAPB为四边形矛盾．

若直线l的斜率存在，设方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得（4k2+3）x2+16kx-32=0．

△=256k2+128（4k2+3）＞0恒成立．

由根与系数关系得：x1+x2=-，x1x2=．

因为=+，所以四边形OAPB为平行四边形．

若存在直线l使四边形OAPB为矩形，则⊥，即•=0．

所以x1x2+y1y2=0．

所以（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0．

即(1+k2)(-)-2k•+4=0．

化简得：12k2+5=0．与斜率存在矛盾．

则不存在直线l，使得四边形OAPB为矩形．

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