弧度制、弧度和角度的变化
共88题

· 弧度制、弧度和角度的变化

弧度制、弧度和角度的变化
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题型：简答题

简答题

（2015春•大冶市期末）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的运动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

（1）找出S与α之间的函数关系；

（2）由得出的函数关系，求S的最大值．

正确答案

解：（1）如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，

在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．

所以AB=OB-OA=cosαsinα．

设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosαsinα）sinα=sinαcosαsin2α

=sin2α+cos2α-=（sin2α+cos2α）-

=sin（2α+）-（0＜α＜）．

（2）由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S最大=-=．

因此，当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．

解析

解：（1）如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，

在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．

所以AB=OB-OA=cosαsinα．

设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosαsinα）sinα=sinαcosαsin2α

=sin2α+cos2α-=（sin2α+cos2α）-

=sin（2α+）-（0＜α＜）．

（2）由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S最大=-=．

因此，当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．

题型：简答题

简答题

已知扇形的圆心角为90°，弧长为l，求此扇形内切圆的面积．

正确答案

解：∵扇形的圆心角为90°，弧长为l，

∴R=，

∵R-r=r，

∴3r=，

∴r=，

∴扇形内切圆的面积为．

解析

解：∵扇形的圆心角为90°，弧长为l，

∴R=，

∵R-r=r，

∴3r=，

∴r=，

∴扇形内切圆的面积为．

题型：简答题

简答题

将弧度转化为度：

（1）1.4

（2）．

正确答案

解：（1）1.4=1.4×（）°=（）°；（2）=×（）°=（）°．

解析

解：（1）1.4=1.4×（）°=（）°；（2）=×（）°=（）°．

题型：简答题

简答题

已知一个四分之一圆的扇形弧长等于50cm，求这个扇形的内切圆的面积．

正确答案

解：设圆的半径为R，扇形的内切圆的半径为r，则

∵扇形的圆心角为90°，弧长为50，

∴R=，

∵R-r=r，

∴3r=，

∴r=

∴扇形内切圆的面积为．

解析

解：设圆的半径为R，扇形的内切圆的半径为r，则

∵扇形的圆心角为90°，弧长为50，

∴R=，

∵R-r=r，

∴3r=，

∴r=

∴扇形内切圆的面积为．

题型：填空题

填空题

若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是______．

正确答案

+，-

解析

解：设这两个角的弧度数分别是α，β，不妨设α＞β；

∵1°=，

∴α+β=1，且α-β=；

解得α=+，β=-；

故答案为：+；-．

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