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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

12.函数有两个零点,则实数的取值范围是(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

首先构造两个函数,后面的函数过原点,然后对进行分类讨论,并结合图形,分析两个函数图像什么时候才会在上有两个交点。

(1)当时,二次函数开口向下,对称轴在轴左边,如右图,两个函数图像只有一个交点;

(2)当时,为斜率为-1的一次函数,两个函数图像也只有一个交点;

(3)当时,二次函数开口向上,对称轴在轴右边,如右图,若要有两个交点,则二次函数在处函数值必须小于0,所以得到,所以答案为

考查方向

本题主要考察函数零点的概念,分类讨论的思想方法以及构造函数的思想,它常常与导数相结合,考察参数的取值范围问题,难度较大,是高考热点之一

解题思路

首先构造两个函数,定义域都是,然后画图分析看在什么范围的时候两个函数图像会有两个交点

易错点

1、忽略对数函数的定义域导致结果出错 

2、没有注意到后面的二次函数过原点,而增加不必要的讨论和计算

知识点

函数零点的判断和求解导数的运算
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

21. 已知函数 .

(Ⅰ)设函数,求函数的单调区间;

(Ⅱ)若不等式在区间[1,e](e=2.71828…)的解集为非空集合,求实数的取值范围

正确答案

见解析

解析

(Ⅱ) ,定义域为(0,+∞),

①当 即 时,令 ,

 ,得 故 在上单调递减,在 上单调递增

②当 即 时,恒成立,在(0,+∞)上单调递增。

综上,当时,的单调递减区间为,单调递增区间为

时,的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间。

(Ⅱ)由题意可知,不等式在区间[1,e](e=2.71828…)的解集为非空集合,

即在[1,e]存在 使得 成立,

由(Ⅰ)中,则在[1,e]存在使得

即函数在[1,e]上的最小值

由(Ⅰ)知,当时,在[1,e]上单调递增,

①当 即 时,在[1,e]上单调递减,

②当 时,在[1,e]上单调递增,

,无解

③当 时,上单调递减,在 上单调递增  此时 ,不合题意。

综上可得,实数 的取值范围是 或

考查方向

函数的单调性;导数与函数的单调性的关系;函数的最大值与最小值

解题思路

确定函数的定义域,利用导数求函数的单调区间,根据题意构造出恰当的不等式,进而求出参数的取值范围。

易错点

求导错误,构造函数不成功。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算其它不等式的解法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

12.已知函数,若对任意,则(   )

A

B.

C      

D

正确答案

A

解析

由题意得,函数在f(x)在x=1处取到最小值。

,所以,令求解方程,得到

,所以当a>0时,函数得而单调递减区间是,单调递增区间是,于是可知,是函数的唯一极小值点,故,整理得,即

,求导并令导函数为零,,得到,当

时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,因为,故,所以

,所以选A。

考查方向

函数的单调性与导数的关系、函数的最值与导数的关系、不等式的定义与性质

解题思路

先判断函数的单调性,然后求导求最值。

易错点

函数单调性判断错误、求导错误

知识点

函数单调性的性质导数的运算其它不等式的解法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

8. 设函数的图像在点处切线的斜率为 ,则函数的图像为(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

,根据的图象可知,g(t)为奇函数,且当x>0时g(t)>0,所以选B

考查方向

函数的单调性与导数的关系

解题思路

先求导数,然后利用导函数求k的解析式,进而判断函数图象

易错点

求导错误,函数单调性不会判断

知识点

知图选式与知式选图导数的运算
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

12.函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

所以函数上单调递增。

而不等式可化为

所以,解得,故选D。

考查方向

本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,利用函数单调性解函数不等式、求函数的定义域等知识,对考生来说有一定的难度。

解题思路

1、先通过题中构造函数,进而求出其单调性;

 2、将题中不等式构造成的形式,最后利用的单调性和定义域得到答案。

易错点

1、不会通过构造函数,这是本题最大的难点;

2、忽视题中函数的定义域,而误选B。

知识点

导数的运算分式不等式的解法
下一知识点 : 导数的加法与减法法则
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