- 导数的运算
- 共219题
12.函数有两个零点,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
首先构造两个函数,后面的函数过原点,然后对
进行分类讨论,并结合图形,分析两个函数图像什么时候才会在
上有两个交点。
(1)当时,二次函数开口向下,对称轴在
轴左边,如右图,两个函数图像只有一个交点;
(2)当时,
为斜率为-1的一次函数,两个函数图像也只有一个交点;
(3)当时,二次函数开口向上,对称轴在
轴右边,如右图,若要有两个交点,则二次函数在
处函数值必须小于0,所以得到
,所以答案为
考查方向
解题思路
首先构造两个函数,定义域都是
,然后画图分析看
在什么范围的时候两个函数图像会有两个交点
易错点
1、忽略对数函数的定义域导致结果出错
2、没有注意到后面的二次函数过原点,而增加不必要的讨论和计算
知识点
21. 已知函数 .
(Ⅰ)设函数,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若不等式≤
在区间[1,e](e=2.71828…)的解集为非空集合,求实数
的取值范围
正确答案
见解析
解析
(Ⅱ) ,定义域为(0,+∞),
①当 即
时,令
,
令 ,得
故
在
上单调递减,在
上单调递增
②当 即
时,
恒成立,
在(0,+∞)上单调递增。
综上,当时,
的单调递减区间为
,单调递增区间为
。
当时,
的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间。
(Ⅱ)由题意可知,不等式≤
在区间[1,e](e=2.71828…)的解集为非空集合,
即在[1,e]存在 使得
成立,
由(Ⅰ)中,则在[1,e]存在
使得
即函数在[1,e]上的最小值
由(Ⅰ)知,当时,
在[1,e]上单调递增,
当时
①当 即
时,
在[1,e]上单调递减,
②当即
时,
在[1,e]上单调递增,
,无解
③当即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增
此时
,不合题意。
综上可得,实数 的取值范围是
或
考查方向
解题思路
确定函数的定义域,利用导数求函数的单调区间,根据题意构造出恰当的不等式,进而求出参数的取值范围。
易错点
求导错误,构造函数不成功。
知识点
12.已知函数,若对任意
,
,则( )
正确答案
解析
由题意得,函数在f(x)在x=1处取到最小值。
,所以
,令
求解方程,得到
,
,所以当a>0时,函数得而单调递减区间是
,单调递增区间是
,于是可知,
是函数的唯一极小值点,故
,整理得
,即
令,求导并令导函数为零,
,得到
,当
时,
,函数单调递增,当
时,
,函数单调递减,因为
,故
,所以
即,所以选A。
考查方向
解题思路
先判断函数的单调性,然后求导求最值。
易错点
函数单调性判断错误、求导错误
知识点
8. 设函数的图像在点
处切线的斜率为
,则函数
的图像为( )
正确答案
解析
,
,根据
的图象可知,g(t)为奇函数,且当x>0时g(t)>0,所以选B
考查方向
解题思路
先求导数,然后利用导函数求k的解析式,进而判断函数图象
易错点
求导错误,函数单调性不会判断
知识点
12.函数是定义在区间
上的可导函数,其导函数为
,且满足
,则不等式
的解集为
正确答案
解析
由得
即
’
,
所以函数在
上单调递增。
而不等式可化为
,
所以,解得
,故选D。
考查方向
解题思路
1、先通过题中构造函数
,进而求出其单调性;
2、将题中不等式构造成
的形式,最后利用
的单调性和定义域得到答案。
易错点
1、不会通过构造函数
,这是本题最大的难点;
2、忽视题中函数的定义域,而误选B。
知识点
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