导数的运算
共219题

· 导数的运算

导数的运算
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题型：单选题

单选题 · 5 分

12．函数有两个零点，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

首先构造两个函数，后面的函数过原点，然后对进行分类讨论，并结合图形，分析两个函数图像什么时候才会在上有两个交点。

（1）当时，二次函数开口向下，对称轴在轴左边，如右图，两个函数图像只有一个交点；

（2）当时，为斜率为-1的一次函数，两个函数图像也只有一个交点；

（3）当时，二次函数开口向上，对称轴在轴右边，如右图，若要有两个交点，则二次函数在处函数值必须小于0，所以得到，所以答案为

考查方向

本题主要考察函数零点的概念，分类讨论的思想方法以及构造函数的思想，它常常与导数相结合，考察参数的取值范围问题，难度较大，是高考热点之一

解题思路

首先构造两个函数，定义域都是，然后画图分析看在什么范围的时候两个函数图像会有两个交点

易错点

1、忽略对数函数的定义域导致结果出错

2、没有注意到后面的二次函数过原点，而增加不必要的讨论和计算

知识点

函数零点的判断和求解导数的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

21. 已知函数 .

（Ⅰ）设函数，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数的取值范围

正确答案

见解析

解析

(Ⅱ) ,定义域为（0，+∞），

①当即时，令，

令，得故在上单调递减，在上单调递增

②当即时，恒成立，在（0，+∞）上单调递增。

综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。

当时，的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。

（Ⅱ）由题意可知，不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，

即在[1，e]存在使得成立，

由（Ⅰ）中，则在[1，e]存在使得

即函数在[1，e]上的最小值

由（Ⅰ）知，当时，在[1，e]上单调递增，

当时

①当即时，在[1，e]上单调递减，

②当即时，在[1，e]上单调递增，

,无解

③当即时，在上单调递减，在上单调递增此时，不合题意。

综上可得，实数的取值范围是或

考查方向

函数的单调性；导数与函数的单调性的关系；函数的最大值与最小值

解题思路

确定函数的定义域，利用导数求函数的单调区间，根据题意构造出恰当的不等式，进而求出参数的取值范围。

易错点

求导错误，构造函数不成功。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算其它不等式的解法

题型：单选题

单选题 · 5 分

12．已知函数,若对任意，，则（）

正确答案

解析

由题意得，函数在f(x)在x=1处取到最小值。

，所以，令求解方程，得到

，，所以当a>0时，函数得而单调递减区间是，单调递增区间是，于是可知，是函数的唯一极小值点，故，整理得，即

令，求导并令导函数为零，，得到，当

时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因为，故，所以

即，所以选A。

考查方向

函数的单调性与导数的关系、函数的最值与导数的关系、不等式的定义与性质

解题思路

先判断函数的单调性，然后求导求最值。

易错点

函数单调性判断错误、求导错误

知识点

函数单调性的性质导数的运算其它不等式的解法

题型：单选题

单选题 · 5 分

8. 设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为（）

正确答案

解析

，

，根据的图象可知，g(t)为奇函数，且当x>0时g（t）>0,所以选B

考查方向

函数的单调性与导数的关系

解题思路

先求导数，然后利用导函数求k的解析式，进而判断函数图象

易错点

求导错误，函数单调性不会判断

知识点

知图选式与知式选图导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

12.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为

正确答案

解析

由得即’ ，

所以函数在上单调递增。

而不等式可化为，

所以，解得，故选D。

考查方向

本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性解函数不等式、求函数的定义域等知识，对考生来说有一定的难度。

解题思路

1、先通过题中构造函数，进而求出其单调性；

2、将题中不等式构造成的形式，最后利用的单调性和定义域得到答案。

易错点

1、不会通过构造函数，这是本题最大的难点；

2、忽视题中函数的定义域，而误选B。

知识点

导数的运算分式不等式的解法

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下一知识点 : 导数的加法与减法法则

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