热门试卷

将f(x)求导并整理，得到f(x)在区间上单调递减，然后分类讨论a的不同取值对单调区间的影响。利用函数单调性证明不等式恒成立的条件。解题步骤见答案。

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（Ⅰ）由得，令，

，，所以在上单调递减，又当趋向于时，

趋向于正无穷大，故，即．

（Ⅱ）由，得，令，

所以，，

因此，对任意，等价于，

由，，得，，

因此，当时，，单调递增；时，，单调递减，所以的最大值为，故，

设，，所以时，，

单调递增，，

故时，，即，

所以．

因此，对任意，恒成立

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（1），因为f(x)定义域为（0，+∞），

所以ax2-2x+a=0有正根且不为等根。显然a≠0,由x1x2=1>0.得Δ>0且x1+x2>0,

所以  0<a<1 。

（2）由上知，，因为x∈（0，+∞），

①若a≤0,则<0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递减，

因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

②若a≥1,则≥0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，

因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

③若0<a<1,记x1,x2分别为ax2-2x+a=0的两根，且x1<1<x2,且f(x)在（0，x1）单调递增，在（x1，x2）单调递增，（x2，+∞）单调递增。

因为f(1)=0,所以f(x1)>0，f(x2)<0.

当x∈（0，x1）时，取

令

显然，>0，所以h(a)在（0，1）单调递增，所以，

故f(x)在有一个零点；

因为，

则f(x)在有一个零点；

综上可知：当a≤0或a≥1时，有唯一零点；

当0<a<1时，有三个零点．