导数的运算
共219题

· 导数的运算

导数的运算
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题型：填空题

填空题 · 5 分

的二项展开式中，常数项为______。

正确答案

解析

略

知识点

导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

给出下列函数：①；②；③；④，则满足关系式的函数的序号是（）。

A①③

B②④

C①③④

D②③④

正确答案

解析

略

知识点

导数的运算

题型：填空题

填空题 · 4 分

设为实数，且满足：，，则 .

正确答案

4028

解析

，

令，则是递增函数，且

则，即.

知识点

导数的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

若的展开式中x3的系数是﹣84，则a=　_________　。

正确答案

解析

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；

（3）是否存在正数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由.

正确答案

见解析。

解析

（1）函数的定义域是

对求导得

由，由

因此是函数的增区间；

（－1，0）和（0，3）是函数的减区间

（2）因为

所以实数m的取值范围就是函数的值域

对

令

∴当x=2时取得最大值，且

又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，

进而有无限趋近于－∞.因此函数的值域是 ,即实数m的取值范围是

（3）结论：这样的正数k不存在。

下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程

有两个不相等的实数根，则

根据对数函数定义域知都是正数。

又由（1）可知，当时，

∴=，=，

再由k>0，可得

由于不妨设，

由①和②可得

利用比例性质得

即

由于上的恒正增函数，且

又上的恒正减函数，且∴

∴，这与（*）式矛盾。

因此满足条件的正数k不存在

知识点

函数单调性的性质函数零点的判断和求解导数的几何意义导数的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

△ABC中，D为边BC

上的一点，BD=33，，求AD。

正确答案

见解析。

解析

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行。

（1）求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中是的导函数，证明：对任意，。

正确答案

见解析。

解析

（1），依题意，为所求.

（2）此时

记，，所以在，单减，又，

所以，当时，，，单增；

当时，，，单减.

所以，增区间为（0，1）；

减区间为（1，.

（3），先研究，再研究.

① 记，，令，得，

当，时，，单增；

当，时，，单减。

所以，，即.

② 记，，所以在,单减，

所以，，即

综①、②知，.

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，其中且.

（1）讨论的单调性；

(2) 若不等式恒成立，求实数取值范围；

（3）若方程存在两个异号实根，，求证：

正确答案

见解析。

解析

(１)的定义域为.

其导数

①当时,,函数在上是增函数;

②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,。

所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数.

(２)当时, 则取适当的数能使，比如取，

能使, 所以不合题意

当时，令,则

问题化为求恒成立时的取值范围.

由于

在区间上,;在区间上,.

的最小值为,所以只需

即,,

(3)由于存在两个异号根，不仿设，因为,所以

构造函数:()

所以函数在区间上为减函数. ,则,

于是,又,,由在上为减函数可知.即

知识点

函数单调性的判断与证明导数的几何意义导数的运算不等式恒成立问题不等式与函数的综合问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

定义在R上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是

①若，则函数的图象在函数的图象上方；

②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点（，0）对称；

③函数，则；

④若是增函数，则.

A①②

B①②③

C③④

D②③④

正确答案

解析

略

知识点

导数的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

曲线在处的切线方程为 ▲ .

正确答案

解析

略

知识点

导数的几何意义导数的运算

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