抛物线的标准方程和几何性质
共238题

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抛物线的标准方程和几何性质
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题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0），过抛物线在轴上方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与交于点，直线与直线交于点。

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求证：轴；

（3）若直线与轴的交点恰为F（1，0），

求证：直线过定点。

正确答案

见解析

解析

解：（1）设抛物线的标准方程为，

由题意，得，即。

所以抛物线的标准方程为。

（2）设，，且，。

由（），得，所以。

所以切线的方程为，即。

整理，得， ①

且C点坐标为。

同理得切线的方程为，②

且D点坐标为。

由①②消去，得。

又直线的方程为，③

直线的方程为。 ④

由③④消去，得。

所以，即轴，

（3）由题意，设，代入（1）中的①②，得，。

所以都满足方程。

所以直线的方程为。

故直线过定点

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，过抛物线上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点

（1）求的值；

（2）若，求面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）因为，在抛物线上，

所以，，

同理，依题有，

因为，所以。

（2）由⑴知，设的方程为，

到的距离为，，

所以=

，

令，由，，可知。，

因为为偶函数，只考虑的情况，

记，，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为6。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

某大型客机承担相距3000公里的甲、乙两地间的客运任务，客机飞行成本由燃料费用和其它费用组成，已知该客机每小时的燃料费用（元）与其飞行速度的平方成正比（比例系数为0.05），其它费用为每小时32000元，且该客机的最大飞行速度为1500公里/小时，在客机全程都是匀速行驶的（假设）条件下。

（1）请将从甲地到乙地的飞行成本（元）表示为飞行速度（公里/小时）的函数；

（2）要使从甲地到乙地的飞行成本最少，该客机应以多大的速度飞行？

正确答案

见解析

解析

（1）由题意，每小时的燃料费用为（），

从甲地到乙地所用的时间为小时，………（4分）

则从甲地到乙地的飞行成本，（）

即或，（）。 ………（7分）

（2）由（１），………（10分）

当且仅当，即时取等号。 ………（13分）

故客机应以800公里/小时的速度飞行时，能使飞行成本最少，………（14分）

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

设点P是曲线C:x2=2py（p>0）上的动点，点P到点（0,1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为。

（1）求曲线C的方程；

（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意知，解得.

所以曲线的方程为.

（2）由题意直线的方程为：，则点

联立方程组，消去得

得.

所以得直线的方程为.

代入曲线，得.

解得.

所以直线的斜率.

过点的切线的斜率.

由题意有.

解得.

故存在实数使命题成立，

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知抛物线的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点。

（1）若，求直线的斜率；

（2）设点M在线段上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB

面积的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1），AB设为代人得：

。设,则。

因为，所以。消去得。

所以。

（2）与关于点对称，是线段的中点。

点，到直线AB的距离相等。

时，。

知识点

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