抛物线的标准方程和几何性质
共238题

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抛物线的标准方程和几何性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

抛物线的焦点到准线的距离是

正确答案

解析

由抛物线标准方程中的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又，故选.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知抛物线：的焦点是，准线是，经过上两点、

分别作的切线、。

（1）若交轴于点，求证：△为等腰三角形；

（2）设与交于点在上，若△面积的最小值是，求的方程。

正确答案

见解析

解析

（1）∵，∴设，

∵，∴的方程是，

∴，∵，∴，

而，

∴，△为等腰三角形；

（2）设，则切线的方程是，

由，得，

∵在：上，∴，

显然直线斜率存在，设：，

由，得，∴，

∴，，

∴，直线：，

∴到直线距离，

，

∴，当时，取最小值，

由，得的方程是。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆，点的坐标为，过点的直线交椭圆于另一点,且中点在直线上，点为椭圆上异于的任意一点。

（1）求直线的方程，;

（2）设不为椭圆顶点,又直线分别交直线于两点,证明：为定值。

正确答案

见解析。

解析

（1）若直线AB无斜率，直线方程x=0，A（0，1）满足要求

若直线AB有斜率，设直线方程y=kx-1，联立方程得

，

中点坐标为

直线方程

（2），，设点为曲线上任一点

直线 AP的方程是与直线y=x联立得

同理得：直线 BP的方程是与直线y=x联立得

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为，若点满足：，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由，

抛物线与直线相切，

抛物线的方程为：，其准线方程为：，

离心率，，

故椭圆的标准方程为

（2）设，，

则当点在椭圆上运动时，

动点的运动轨迹

的轨迹方程为：

由得

设分别为直线，的斜率，由题设条件知

因此

因为点在椭圆上，所以，

故

所以，从而可知：点是椭圆上的点，

存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为。

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为。

（1）求抛物线的方程；

（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；

（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值。

正确答案

（1）（2）（3）-11

解析

解析：（1）∵点到抛物线准线的距离为，

∴，即抛物线的方程为。----------------------------------------------2分

（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，

设，，

∴， ∴ ，

∴。。---------------------------6分

法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，

联立方程组，得，

∵ ∴，。

同理可得，，∴。---------------------------6分

（3）法一：设，∵，∴，

可得，直线的方程为，

同理，直线的方程为，

∴，，

∴直线的方程为，令，可得，

∵关于的函数在单调递增， ∴。------------------------------12分

法二：设点，，。

以为圆心，为半径的圆方程为，........................................................................................................................................ ①

⊙方程：。....................................................... ②

①-②得：直线的方程为。

当时，直线在轴上的截距，

∵关于的函数在单调递增， ∴。 ------------------------12分

知识点

直线的倾斜角与斜率抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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