抛物线的标准方程和几何性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图（7），已知抛物线C：＝2py （p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点．

23.当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5），求p的值；

24.以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，记劣弧的长度为S，当直线l绕点F旋转时，求的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

解：（1）当的倾斜角为时，的方程为

设得

得中点为

中垂线为代入得

考查方向

本题主要考查了抛物线的方程与性质及直线与抛物线的综合应用，近几年高考考查的频率较高，也常考查直线与椭圆、圆与直线，求曲线轨迹或最值问题。

解题思路

（1）首先设出直线AB方程，再计算出中点从而确定其中垂线方程，最后将Q点坐标代入方程算出P的值（2）根据题意设出直线L的方程，表示出弦AB和圆心D的坐标；令，探索到，转化为求的最大值问题。

易错点

对条件的合理转化是本题的突破口也是易错点。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）的最大值为

解析

解：

（2）设的方程为，代入得

中点为

令

到轴的距离

当时取最小值

的最大值为

故的最大值为.

考查方向

本题主要考查了抛物线的方程与性质及直线与抛物线的综合应用，近几年高考考查的频率较高，也常考查直线与椭圆、圆与直线，求曲线轨迹或最值问题。

解题思路

（1）首先设出直线AB方程，再计算出中点从而确定其中垂线方程，最后将Q点坐标代入方程算出P的值（2）根据题意设出直线L的方程，表示出弦AB和圆心D的坐标；令，探索到，转化为求的最大值问题。

易错点

对条件的合理转化是本题的突破口也是易错点。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线（）的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．

23.分别求抛物线和椭圆的方程；

24.经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为．

设椭圆的方程为，半焦距为．由已知可得：

,解得．所以椭圆的方程为：．

考查方向

抛物线的性质与特征；椭圆的方程与椭圆的性质与特征

解题思路

第一问根据离心率及焦点求抛物线C和椭圆E的方程，第二问利用平面向量的数量积的坐标公式证明线段和线段垂直。

易错点

计算错误，利用平面向量证明线段垂直

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，

故可设直线的方程为，

由, 消去并整理得 ∴ ．

∵抛物线的方程为，求导得，

∴过抛物线上两点的切线方程分别是，,

即，，

解得两条切线的交点的坐标为，即，

,

∴．

考查方向

抛物线的性质与特征；椭圆的方程与椭圆的性质与特征

解题思路

第一问根据离心率及焦点求抛物线C和椭圆E的方程，第二问利用平面向量的数量积的坐标公式证明线段和线段垂直。

易错点

计算错误，利用平面向量证明线段垂直

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0) 的焦点为F，双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是 .

正确答案

y＝±2x

解析

抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F；

双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为；

代入抛物线的方程，可得A， B

由A，B，F三点共线，可得：，即有b=2a，∴双曲线的渐近线方程是y＝±2x

考查方向

本题主要考查了抛物线和双曲线的几何性质

解题思路

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，

F共线，可得，即有b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．

易错点

混淆抛物线和双曲线的几何性质，同时计算容易出现错误

知识点

双曲线的几何性质抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

利用抛物线的性质得出焦点为在y轴上，即

所以双曲线方程为 ∴渐近线为选C

考查方向

本题考察了双曲线的定义及标准方程，考察了抛物线的定义及方程，考察了双曲线的几何性质，属于容易题

解题思路

1、利用抛物线的性质得出焦点为在y轴上

2、根据双曲线的几何性质得出

3、根据双曲线的几何性质直接写出渐近线

易错点

本题主要易错于焦点位置的判断以及m的含义

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）

A

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

如图：注意点Q的位置

根据题意得知

选C

考查方向

本题重点考察了抛物线的标准方程和几何性质，考察了抛物线焦点弦的性质，考察了不等式的应用，借助于数形结合，该题属于简单题

解题思路

1）把转化为点Q到准线的距离问题，

2）利用不等式的性质直接得出结果

易错点

主要易错于的转换

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点