抛物线的标准方程和几何性质
共238题

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抛物线的标准方程和几何性质
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题型：填空题

填空题 · 5 分

14.已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影分别为点，则直线的斜率为

正确答案

解析

如图，由题意可得 AF=AC设AF=3m，由AB=2BC，可AB=2m,BC=m，过A作AD垂直x轴于D，设A的横坐标为则3m=1+=2m,所以m=1,A(2,2)，F(1,0),所以直线AF的斜率为2

考查方向

本小题考查直线与抛物线的位置关系

解题思路

画出抛物线简图，用抛物线定义，结合题中的位置关系，数量关系，求出点A(2,2)，既然得到直线AF的斜率为2

易错点

对抛物线定义及性质掌握不熟

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

．

23.求抛物线的方程；

24.已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，求的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

(1) 设抛物线的焦点为，则直线，

由，得 -------------2分

，，，

抛物线的方程为 ------------4分

考查方向

本题考查了抛物线过焦点的弦长的求解及基本不等式的应用

解题思路

联立直线与抛物线方程,求解抛物线过焦点的弦长.

设动圆圆心 ,表示出圆的方程并求出A，B点，用距离公式表示，即可得到结果。

易错点

联立消元计算出错

第2问计算量较大，对学生的运算能力是个严重的考验。

不能正确地两次利用基本不等式求最值。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

设动圆圆心，则，

且圆，

令，整理得：，

解得：， -------------4分

设，

当时，，①

当时，，，，

，且，②

综上①知， -------------8分

在单调递减，

，

当且仅当，即时等号成立．

所以的最大值为． -------------12分

考查方向

本题考查了抛物线过焦点的弦长的求解及基本不等式的应用

解题思路

联立直线与抛物线方程,求解抛物线过焦点的弦长.

设动圆圆心 ,表示出圆的方程并求出A，B点，用距离公式表示，即可得到结果。

易错点

联立消元计算出错

第2问计算量较大，对学生的运算能力是个严重的考验。

不能正确地两次利用基本不等式求最值。

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线C于M、N两点，且．

23.求抛物线C的方程；

24.已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D(0，4)，若动圆P与x轴交于A、B两点，且，求的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

(1) 设抛物线的焦点为，则直线，

由，得 ………………………2分

，，

， ………………………4分

抛物线的方程为 ………………………5分

考查方向

抛物线与圆的定义与几何性质，不等式的应用.

解题思路

过抛物线焦点的弦长运用抛物线的定义可求得；求出的函数表达式，再求最值.

易错点

本题抛物线为开口向上的，故焦点弦长为；求函数的最值时注意定义域.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设动圆圆心，则，

且圆，

令，整理得：，

解得：， ………………………7分

，…………9分

当时，，

当时，，，，

，

所以的最小值为． ………………………12分

考查方向

抛物线与圆的定义与几何性质，不等式的应用.

解题思路

过抛物线焦点的弦长运用抛物线的定义可求得；求出的函数表达式，再求最值.

易错点

本题抛物线为开口向上的，故焦点弦长为；求函数的最值时注意定义域.

题型：简答题

简答题 · 12 分

动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.

23.求点的轨迹的方程；

24.设点，过点的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：（Ⅰ）设点，，则由，得，

因为点在抛物线上，∴. ………………………4分

考查方向

求圆锥曲线的轨迹方程

解题思路

设参数，找等量关系，求解参数

易错点

计算能力弱，数形结合思想运用不牢

教师点评

解析几何一般都需要学生拥有一个强大的计算能力

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（Ⅱ）由已知，直线的斜率一定存在，

设点，，则联立，

得，，

由韦达定理，得. ………………………………………6分

当直线经过点即或时，

当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，

则，，此时；

同理，当点与点重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）

直线不经过点即且时，∵，

……………………………………8分

， …………………………………………………10分

故，

所以的最小值为1． ………………………………………12分

考查方向

抛物线的性质及应用，直线和圆锥曲线的交汇问题直线的斜率，求圆锥曲线的轨迹方程

解题思路

设出相关点的坐标，利用直线和圆锥曲线的方程联立，带入坐标，求解参数的值，利用平均值不等式判断求解的最小值

易错点

计算能力弱，不会用平均值不等式求最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．

23.求抛物线C的标准方程；

24.记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

抛物线C的标准方程为．

解析

由题意，，，

抛物线C的标准方程为．

考查方向

求抛物线的标准方程，圆锥曲线和直线的交汇问题

解题思路

根据三角形的面积公式，抛物线的几何性质，建立关于p的方程，然后求出p

易错点

抛物线的几何性质掌握不好，计算求解错误

教师点评

主要是找到等量关系，建立方程，进而求出p

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

不论a取何值，t均与m有关，即时，A不是“稳定点”；

仅当，即时，t与m无关，

解析

设，设直线MN的方程为，联立得，，，，由对称性，不妨设，

（ⅰ）时，，同号，

又，，

不论a取何值，t均与m有关，即时，A不是“稳定点”；

（ⅱ）时，，异号，又，

，

仅当，即时，t与m无关，

考查方向

求抛物线的标准方程，圆锥曲线和直线的交汇问题

解题思路

设出相关变量的参数，然后联立成方程组，利用代数方法解决几何问题。

在讨论a时，要对a的符号进行讨论，最后结合讨论结果，给出答案。

教师点评

本题主要难在计算量上，在设参数然后“解析”的时候，要注意运算正确

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