抛物线的标准方程和几何性质
共238题

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抛物线的标准方程和几何性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知抛物线()的准线与圆相切,则的值为( )

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的焦点为、，点在椭圆上。

（1）求椭圆的方程；

（2）设双曲线：（，）的顶点、都是曲线的顶点，经过双曲线的右焦点作轴的垂线，与在第一象限内相交于，若直线经过坐标原点，求双曲线的离心率。

正确答案

见解析。

解析

（1）椭圆的焦距

长轴

椭圆的短轴，所以椭圆的方程为

（2）设双曲线焦距为，依题意，

（方法一），直线的方程为

、、共线，所以，即，，，解得双曲线的离心率（舍去）

（方法二）依题意，～，

所以，即，，

解得双曲线的离心率（舍去）

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则时，的解析式为（）；不等式的解集为（）。

正确答案

，

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知集合()，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于，则称这些子集为子集，记子集的个数为.

（1）当时，写出所有子集；

（2）求；

（3）记，求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）当时，所有子集：. …… 4分

（2）的子集可分为两类：

第一类子集中不含有，这类子集有个；

第二类子集中含有，这类子集或为的子集与的并，

或为的单元素子集与的并，共有个.

所以.

因为，所以. ………9分

（3）因为， ①

所以， ②

①-②得

所以. ………14分

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点A（2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线交于B，C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为，且与交于点P.

(1)求椭圆C1的方程；

(2)是否存在满足的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）解法1：设椭圆的方程为,

依题意: 解得:

∴ 椭圆的方程为.

解法2：设椭圆的方程为，

根据椭圆的定义得，即，

∵， ∴.

∴ 椭圆的方程为.

(2)解法1：设点,，则，

，

∵三点共线,

∴.

∴,

化简得：. ①

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②

同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③

设点，由②③得：，

而，则 .

代入②得，

则，代入 ① 得，即点的轨迹方程为.

若，则点在椭圆上，而点又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件的点有两个.

解法2：设点,，，

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴ 。

∵点在切线上, ∴. ①

同理， . ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程.

∵经过的直线是唯一的，

∴直线的方程为，

∵点在直线上， ∴.

∴点的轨迹方程为.

若，则点在椭圆上，又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件的点有两个.

解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.

设,则.

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分

∵， ∴.

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.

由解得

∴.

∵,

∴点在椭圆上.

∴.

化简得.(*)

由,

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个.

知识点

椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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