热门试卷

（1）；

，                  ………………5分

（2）假设是一个位数（），

那么可以设，

其中且（），且。

由可得，。

所以。

因为，所以。

而，

所以，即，                     ………………9分

（3）由，即，可知。

同理，可知。

由数学归纳法知，对任意，有。

即对任意，有。

因此，存在（），有。

则，，…，，

可得对任意，，有。

设，即对任意，有。

若，取，，则有。

若，由，可得，

取，，则有，            ………………14分

解：（1）由

①  当时，则有函数在区间单调递增；

②  当时，,

函数的单调增区间为，单调减区间为。

综合①②的当时，函数的单调增区间为；

当时，函数的单调增区间为，单调减区间为。

（2）函数定义域为

又

令

则

故函数在上单调递减，在上单调递增。

有由（1）知当时，对，有

即

当且趋向0时，趋向

随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向。得到函数的草图如图所示

故①当时，函数有两个不同的零点；

②当时，函数有且仅有一个零点；

③当时，函数无零点；

（3）由（2）知当时，，故对，

先分析法证明：

要证

只需证

即证

构造函数

故函数在单调递增，

，

则成立。

①当时，由（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立。

②当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，

故当时，，所以，则不满足题意。

综合①②得，满足题意的实数的取值范围。