热门试卷

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，题目的难度较大，（1）直接求圆心和半径（2）证明定值问题时，要先表示出来，再通过计算化简得到（3）的最大值涉及到基本不等式，要能正确地使用基本不等式。

（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，

从而圆的方程为.

（2）①因为圆与直线相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的两根，

从而.

②设点，联立，

解得，

同理，，

所以

， 当且仅当时取等号. 所以的最大值为.

作OA⊥MN,垂足为A，在直角三角形OMA中，因为∠OMN=,所以|OA|=|OM|sim=,解得|OM| ，因为点M(),所以|OM|=, [-1,1].

试题分析：本题是直线与圆锥曲线的常见题型，运算量较大。此类问题往往要用到韦达定理，设而不求等方法技巧，把几何关系转化为代数运算。

（Ⅰ）因为，所以解得，所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）若存在满足题意的定圆，设该定圆半径为，则直线与该定圆相切，由对称性及可知，此时直线方程为，其与椭圆交于，故，解得，下面说明定圆满足题意．

①由上述讨论可知，切线于椭圆交于两点，满足．由椭圆与圆均关于轴对称可知，切线也满足题意．

②当切线不与轴垂直时，设切线方程为，交于．

则圆心到切线的距离，即．

由得，，

所以

，且．

所以，．

所以，，

所以．

综上所述，存在定圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且．

⑴解：设曲线上任意一点坐标为，

由题意，，  

整理得，即，为所求。

 ⑵解：由题知 ，且两条直线均恒过点，

设曲线的圆心为，

则，线段的中点为，

则直线：,设直线：，

由 ，解得点，

 由圆的几何性质，，而，，，解之得或，又两点均在轴下方，直线：.由

解得 或不失一般性，

设，

 由消得：，

⑴ 方程⑴的两根之积为1，

所以点的横坐标，

又因为点在直线上，解得，直线，

所以， 

同理可得，，所以线段的长为。