- 递增数列和递减数列
- 共742题
在等差数列{an}中，已知13a6=19a9，且a1＞0，sn为数列{an}的前n项和，则在s1，s2，s3，…，s50中，最大的一个是（ ）
正确答案
解析
解：由13a6=19a9得，
13a6=19（a6+3d），
所以2a6+19d=0，a6+a25=a15+a16=0，
又因为a1＞0，
所以d＜0，a15＞0，a16＜0，
故选A．
将正偶数按下表排成5列：
那么2004应该在第______行第______列．
正确答案
251
3
解析
解：∵2004是正偶数列中第1002项，
又∵每一行四项，
∴在第251行中的第二个数．
又∵第251行是从左向右排且从第二列开始排，
∴2004为第251行第3列．
故答案为：251；3
若数列{an}满足a1a2a3…an=n2+3n+2，在数列{an}的通项公式为______．
正确答案
an=
解析
解：∵a1a2a3…an=n2+3n+2，
∴当n≥2时，a1a2a3…an-1=（n-1）2+3（n-1）+2=n2+n，
∴an=
当n=1时，a1=6．
∴an=
故答案为：an=
给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．
（1）若a1=-c-2，求a2及a3；
（2）求证：对任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）a2=f（a1）=f（-c-2）=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，
a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|-|2+c|=2（6+c）-（c+2）=10+c．
（2）由已知可得f（x）=
当an≥-c时，an+1-an=c+8＞c；
当-c-4≤an＜-c时，an+1-an=2an+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c；
当an＜-c-4时，an+1-an=-2an-c-8＞-2（-c-4）-c-8=c．
∴对任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列．
由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．
又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥-c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，
因此公差d=c+8．
①当a1＜-c-4时，则a2=f（a1）=-a1-c-8，
又a2=a1+d=a1+c+8，故-a1-c-8=a1+c+8，即a1=-c-8，从而a2=0，
当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2=0＞-c，
∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=-c-8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；
②若-c-4≤a1＜-c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=-c，应舍去；
③若a1≥-c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．
综上可知：a1的取值范围为{-c-8}∪[-c，+∞）．
解析
解：（1）a2=f（a1）=f（-c-2）=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，
a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|-|2+c|=2（6+c）-（c+2）=10+c．
（2）由已知可得f（x）=
当an≥-c时，an+1-an=c+8＞c；
当-c-4≤an＜-c时，an+1-an=2an+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c；
当an＜-c-4时，an+1-an=-2an-c-8＞-2（-c-4）-c-8=c．
∴对任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列．
由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．
又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥-c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，
因此公差d=c+8．
①当a1＜-c-4时，则a2=f（a1）=-a1-c-8，
又a2=a1+d=a1+c+8，故-a1-c-8=a1+c+8，即a1=-c-8，从而a2=0，
当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2=0＞-c，
∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=-c-8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；
②若-c-4≤a1＜-c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=-c，应舍去；
③若a1≥-c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．
综上可知：a1的取值范围为{-c-8}∪[-c，+∞）．
求通项：7，77，777，7777，77777，…
正确答案
解：∵9，99，999，9999，99999，…的通项公式为an=10n-1．
∴数列7，77，777，7777，77777，…通项公式为
解析
解：∵9，99，999，9999，99999，…的通项公式为an=10n-1．
∴数列7，77，777，7777，77777，…通项公式为
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