- 递增数列和递减数列
- 共742题
已知Sn是数列{an}的前n项和，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2．求数列{an}的通项公式．
正确答案
解：∵an=Sn-1+2（n≥2），a1=2．
∴an+1=Sn+2，
∴an+1-an=an，化为an+1=2an．
又a1=2，a2=4，a3=8，满足上述关系．
∴数列{an}是等比数列，
∴an=2n．
解析
解：∵an=Sn-1+2（n≥2），a1=2．
∴an+1=Sn+2，
∴an+1-an=an，化为an+1=2an．
又a1=2，a2=4，a3=8，满足上述关系．
∴数列{an}是等比数列，
∴an=2n．
已知数列{an}的通项公式为an=n2+kn+5，若对于任意的正整数n，都有an+1＞an，则实数K的范围为______．
正确答案
k＞-3
解析
解：∵对于任意的正整数n，都有an+1＞an，
∴（n+1）2+k（n+1）+5＞n2+kn+5，
化为k＞-（2n+1），
由于数列{-（2n+1）}单调递减，
∴-（2n+1）≤-3．
∴k＞-3，
故答案为：k＞-3．
数列{an}的通项公式an=（n+1）•（
正确答案
9或10
解析
解：因an=（n+1）
则
∴n≤9，
即n≤9时，an+1≥an，
当n＞9时，an+1＜an，
∴a9或a10最大
故答案为：9或10．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵
∴
所以，ak+1-ak=
故选A．
已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pk（xk，yk） （k∈N*，k≥2）满足P1（1，1），
（1）写出满足k=4的所有点列；
（2）证明：对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
（3）当k=2n-1且P2n-1（n，n）（n∈N*，n≥2）时，求
正确答案
解：（1）符合条件的点列T为：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（3，1），P4（3，2）；
（2）证明：由已知xi+yi=xi-1+yi-1+1，则数列{xi+yi}是公差为1的等差数列，
由x1+y1=2，可得xi+yi=i+1（i=1，2，…，k），
若存在点列T，使得
由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k≥2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，
故对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
（3）由已知yi=i+1-xi（i=1，2，…，2n-1），
=（x1+x2+…+x2n-1）（（2+3+…+2n）-（x1+x2+…+x2n-1）），
令t=x1+x2+…+x2n-1，则
考虑f（t）=t[（n+1）（2n-1）-t]，
①当n为奇数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，n，…，n．
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
=
所以t=
②当n为偶数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
所以t=
解析
解：（1）符合条件的点列T为：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（3，1），P4（3，2）；
（2）证明：由已知xi+yi=xi-1+yi-1+1，则数列{xi+yi}是公差为1的等差数列，
由x1+y1=2，可得xi+yi=i+1（i=1，2，…，k），
若存在点列T，使得
由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k≥2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，
故对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
（3）由已知yi=i+1-xi（i=1，2，…，2n-1），
=（x1+x2+…+x2n-1）（（2+3+…+2n）-（x1+x2+…+x2n-1）），
令t=x1+x2+…+x2n-1，则
考虑f（t）=t[（n+1）（2n-1）-t]，
①当n为奇数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，n，…，n．
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
=
所以t=
②当n为偶数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
所以t=
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