- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
点P到平面四边形ABCD四条边的距离相等，则四边形ABCD是（ ）
正确答案
解析
解：
∵P到四边形ABCD四条边的距离相等，∴PE=PF=PG=PH．
以P为圆心，PE为半径作圆，如图所示．
∵直线AB经过点E，且AB⊥PE，∴直线AB与圆P相切．
∵PF=PE，∴点F在圆P上．
又∵直线BC经过点F，且BC⊥PF，∴直线BC与圆P相切．
同理可得直线CD、DA都与圆P相切．
由此可得四边形ABCD的各边都与圆P相切，即ABCD是圆P的外切四边形．
故选：B
如图，以AB=8为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=______．
正确答案
4
解析
∵AB为圆的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°
又∵∠ACB=60°
∴CA=2CE
由圆内接四边形性质易得：
∠CFE=∠CBA （由圆内接四边形对角互补，同角的补角相等得到的）
又因为∠C=∠C
∴△CEF∽△CBA
∴
又∵AB=8
∴EF=4．
故答案为：4．
在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（ ）
正确答案
解析
解：画出图形，如图所示，
∵⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，
∴∠A=
∴∠BCD=180°-∠A=120°．
故选：A．
正确答案
解析
解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，
∴2×2=CP•1，
解得：CP=4，又PD=1，
∴CD=5，
又⊙O的半径为
则圆心O到弦CD的距离为d=
故答案为：
圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D=______．
正确答案
90°
解析
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°
∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
可得∠A+∠C=4x=180°，解之得x=45°
∴∠B=2x=90°，得∠D=180°-∠B=90°
故答案为：90°
国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？
正确答案
解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C，
∠AGF=∠B+∠D=2∠B，
∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．
解析
解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C，
∠AGF=∠B+∠D=2∠B，
∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．
①B，D两点间的距离为
②AD是该圆的一条直径；
③CD=
④四边形ABCD的面积S=
其中正确的个数为______．
正确答案
3
解析
解：①∵∠BCD=120°，∴∠A=60°，
∵AD=2，AB=1，∴BD=
∴AB⊥BD，∴AD是该圆的一条直径，②正确；
③3=1+CD2-2CD•（-
④由③可得四边形是梯形，高为
故答案为：3
A
B
C
D4
正确答案
解析
解：由题知，在△BED和△BCE中，
∠EBD=∠ACE=∠CBE，∠BED=∠BCE，
∴△BED～△BCE，
所以 
即
∴BE=
故选B．
（几何证明选讲选做题）一个等腰三角形ABC的底边AC的长为6，△ABC的外接圆的半径长为5，则△ABC的面积是______．
正确答案
3或27
解析
∵AC=6，R=5，
∴sinB=
∴cosB=±
设AB=BC=x，
由余弦定理知36=
∴x=
∴△ABC的面积S=
或S=
故答案为：3或27
在三角形ABC中，O是外心，I是内心，若∠BOC=∠BIC，则∠A=______．
正确答案
60°
解析
利用圆周角定理可得∠BOC=2∠A；
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-∠BOC=180°-2∠A，
又∵∠IBC+∠ICB=
∴180°-2∠A=90°-
解得∠A=60°．
故答案为：60°．
正确答案
40°
解析
解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
又∠BAC=50°，∴∠ABC=90°-∠BAC=40°．
∵
故答案为40°．
（2015春•哈尔滨校级期中）在直径为4的圆内接矩形中，最大的面积是（ ）
正确答案
解析
解：设内接矩形的长和宽为x和y，根据圆内接矩形的性质可知矩形的对角线为圆的直径
故x2+y2=16，
∴x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时等号成立）
∴xy≤8
即矩形的面积的最大值值为8
故选D
求证：
（1）P，D，C，E四点共圆；
（2）AP⊥CP．
正确答案
解：（1）∵正△ABC中，
∴BD=CE，AB=BC且∠ABD=∠BCE=60°
∴△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC
∵∠PDC+∠ADB=π，
∴∠PDC+∠BEC=π，得四边形PDCE的对角互补
∴四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；---（5分）
（2）如图，连接DE，
∵在△CDE中，CD=2CE，∠DCE=60°，
∴由余弦定理，得DE2=CD2+CE2-2CD•CEcos60°=3CE2
由此可得CE2+DE2=4CE2=CD2，所以∠CED=90°
∵P，D，C，E四点共圆
∴∠DPC=∠CED=90°，得AP⊥CP
解析
解：（1）∵正△ABC中，
∴BD=CE，AB=BC且∠ABD=∠BCE=60°
∴△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC
∵∠PDC+∠ADB=π，
∴∠PDC+∠BEC=π，得四边形PDCE的对角互补
∴四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；---（5分）
（2）如图，连接DE，
∵在△CDE中，CD=2CE，∠DCE=60°，
∴由余弦定理，得DE2=CD2+CE2-2CD•CEcos60°=3CE2
由此可得CE2+DE2=4CE2=CD2，所以∠CED=90°
∵P，D，C，E四点共圆
∴∠DPC=∠CED=90°，得AP⊥CP
直线x+3y-7=0与kx-y-2=0与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k=（ ）
正确答案
解析
解：如图所示，
如图所示，可得四边形OACB是圆内接四边形．
则直线BC⊥AB．
∴
故选B．
（I ）求证：E、H、M、K四点共圆；
（II）若KE=EH，CE=3求线段 KM 的长．
正确答案
∵AC=AH，AK=AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，-----------（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，-------------（5分）
（II）连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，-----------（7分）
∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．----------（10分）
解析
∵AC=AH，AK=AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，-----------（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，-------------（5分）
（II）连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，-----------（7分）
∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．----------（10分）
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