直线与圆的位置关系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知，圆O的半径r=AB=4，则圆心O到AC的距离为______．

正确答案

解析

解：设BC=x，

∵，圆O的半径r=AB=4，

∴，

解得BC=x=4．

∴△OBC是边长为4的等边三角形，

∴圆心O到AC的距离．

故答案为：2．

1

题型：简答题

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简答题

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，BC=1，以CD为直径作圆与AB相切于点M，且交BC边于E点，求BE的长

正确答案

解：设⊙O的半径为r，

连接OE，OM，延长CD，BA交于点G，

∵∠B=∠C=60°，

∴∠G=60°，

∵OC=OE=r，

∴∠CEO=60°，

∴△CEO为等边三角形，

∴CE=OC=r，

∵∠OEC=∠B=60°，

∴OE∥BG，

∴，

在Rt△OMG中，OG==r，

则==，

∴BE+BE=1，

∴BE=4-2．

解析

解：设⊙O的半径为r，

连接OE，OM，延长CD，BA交于点G，

∵∠B=∠C=60°，

∴∠G=60°，

∵OC=OE=r，

∴∠CEO=60°，

∴△CEO为等边三角形，

∴CE=OC=r，

∵∠OEC=∠B=60°，

∴OE∥BG，

∴，

在Rt△OMG中，OG==r，

则==，

∴BE+BE=1，

∴BE=4-2．

1

题型：简答题

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简答题

如图，过圆O外一点P分别作圆的切线PA和割线PB，且PB=9，C是圆上一点使得BC=4，∠BAC=∠APB，则AB=______．

正确答案

解：∵∠BAC=∠APB，

∠C=∠BAP，

∴△PAB∽△ACB，

∴，

∴AB2=PB•BC=9×4=36，

∴AB=6，

故答案为：6．

解析

解：∵∠BAC=∠APB，

∠C=∠BAP，

∴△PAB∽△ACB，

∴，

∴AB2=PB•BC=9×4=36，

∴AB=6，

故答案为：6．

1

题型：填空题

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填空题

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，圆O经过B、C且与AB、AC分别相交于D、E．若AE=EC=，则圆O的半径r=______．

正确答案

解析

解：Rt△ABC中，C=90°，A=30°，AE=EC=2知

B=60°，AB=8，BC=4

连接BE，由题设条件知，BE是圆的直径，

在直角三角形BCE中，由勾股定理得BE==2．

所以：圆O的半径r=．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=3，则OD的长为______．

正确答案

6

解析

解：连结OA，

∵AD是圆O的切线，∠B=30°，

∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，

∴△AOC是一个等边三角形，

∴OA=OC=3，

在直角△AOD中，

∵∠DOA=60°，∴∠D=30°，

∴OD=2AO=6．

故答案为：6．

1

题型：单选题

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单选题

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E，若AB=8，DC=4，则DE=（　　）

A

B2

C

D

正确答案

B

解析

解：如图，∵AB是圆O的直径，点C在圆O上，

延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．

∴∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，∠ABC=∠ADC=∠ACE，

∴CE⊥AD，

∵AB=8，DC=4，

∴BC=DC=4，∠ABC=∠DCE=30°，

∴DE=DC=2．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D．若，AB=AC=2，则线段AD的长是______；圆O的半径是______．

正确答案

1

2

解析

解：①∵CD是⊙O的切线，由切割线定理得CD2=DA•DB，CD=，DB=DA+AB=DA+2，

∴，又DA＞0，解得DA=1．

②在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ACD===，

∵0＜∠ACD＜π，∴．

根据弦切角定理可得∠ABC=∠DCA=．

由正弦定理可得==4，∴R=2．

故答案分别为1，2．

1

题型：简答题

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简答题

如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：

（1）∠DEA=∠DFA；

（2）AB2=BE•BD-AE•AC．

正确答案

证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，

所以∠ADB=90°，（1分）

又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）

则A，D，E，F四点共圆（2分）

∴∠DEA=∠DFA（1分）

（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，（1分）

又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC（2分）

∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•（BF-AF）=AB2（2分）

解析

证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，

所以∠ADB=90°，（1分）

又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）

则A，D，E，F四点共圆（2分）

∴∠DEA=∠DFA（1分）

（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，（1分）

又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC（2分）

∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•（BF-AF）=AB2（2分）

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题型：简答题

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简答题

如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分△ABC的周长．

正确答案

证：如图，连接DB，DP，DQ，PQ．

∵∠ABD=∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠EAC=∠DBC+∠DCB，即：2∠DAC=∠DBC+∠DCB；

又∠DAC=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB，故△DBC为等腰三角形．

∵DP⊥BC，则CP=BC．

在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理得：AC•BD=BC•AD+AB•CD，

∵BD=CD，∴AC-AB=，

又DQ⊥AC，∴△ADQ∽△BDP，

∴，即AQ=．

故AC-AB=2AQ，即AQ=．

∴CQ+CP=（AC-AQ）+BC=BC=（AB+BC+CA）．

解析

证：如图，连接DB，DP，DQ，PQ．

∵∠ABD=∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠EAC=∠DBC+∠DCB，即：2∠DAC=∠DBC+∠DCB；

又∠DAC=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB，故△DBC为等腰三角形．

∵DP⊥BC，则CP=BC．

在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理得：AC•BD=BC•AD+AB•CD，

∵BD=CD，∴AC-AB=，

又DQ⊥AC，∴△ADQ∽△BDP，

∴，即AQ=．

故AC-AB=2AQ，即AQ=．

∴CQ+CP=（AC-AQ）+BC=BC=（AB+BC+CA）．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．

（1）求证：FB=FC；

（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6，求AD的长．

正确答案

（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；

∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC； …（3分）

∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，

∴∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC．…（5分）

（2）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACD=90°

∵∠EAC=120°，∴∠DAC=∠EAC=60°，∠D=30°…（7分）

在Rt△ACB中，∵BC=6，∠BAC=60°∴AC=2

又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=2，

∴AD=4 …（10分）

解析

（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；

∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC； …（3分）

∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，

∴∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC．…（5分）

（2）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACD=90°

∵∠EAC=120°，∴∠DAC=∠EAC=60°，∠D=30°…（7分）

在Rt△ACB中，∵BC=6，∠BAC=60°∴AC=2

又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=2，

∴AD=4 …（10分）

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题型：简答题

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简答题

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．

（1）求∠ABO的大小；

（2）求AD的长．

正确答案

解：（1）连接AB，则

∵∠APB=30°，PA是⊙O的切线，A是切点，

∴∠AOB=60°，

∵OA=OB，

∴∠ABO=60°；

（2）过A作AH⊥BC于H，则

∵PA=2，∠APB=30°，

∴AO=2，AH=，

Rt△AHD中，HD=2，∴AD=．

解析

解：（1）连接AB，则

∵∠APB=30°，PA是⊙O的切线，A是切点，

∴∠AOB=60°，

∵OA=OB，

∴∠ABO=60°；

（2）过A作AH⊥BC于H，则

∵PA=2，∠APB=30°，

∴AO=2，AH=，

Rt△AHD中，HD=2，∴AD=．

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题型：简答题

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简答题

已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．

（1）求证：∠BAC=∠CAG；

（2）求证：AC2=AE•AF．

正确答案

证明：（1）连接BC，

∵AB为⊙O的直径…（2分）

∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…（1分）

∵GC与⊙O相切于C，

∴∠ECB=∠BAC

∴∠BAC+∠ACG=90°…（4分）

又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°

∴∠BAC=∠CAG…（6分）

（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF

∵GE与⊙O相切于C，

∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB

∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°

∴∠AFC=∠ACE…（8分）

∵∠FAC=∠CAE

∴△FAC∽△CAE…（10分）

∴

∴AC2=AE•AF…（12分）

解析

证明：（1）连接BC，

∵AB为⊙O的直径…（2分）

∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…（1分）

∵GC与⊙O相切于C，

∴∠ECB=∠BAC

∴∠BAC+∠ACG=90°…（4分）

又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°

∴∠BAC=∠CAG…（6分）

（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF

∵GE与⊙O相切于C，

∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB

∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°

∴∠AFC=∠ACE…（8分）

∵∠FAC=∠CAE

∴△FAC∽△CAE…（10分）

∴

∴AC2=AE•AF…（12分）

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题型：填空题

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填空题

如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，，则圆O的半径长为 ______、∠EFD的度数为 ______．

正确答案

4

30°

解析

解：由切割线定理得PD2=PE•PF

⇒EF=8，OD=4，利用

∵OD⊥PD，

∴∠P=30°，∠POD=60°，∠PDE=∠EFD=30°．

故答案为：4；30°．

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题型：填空题

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填空题

如图，圆O中AB=4为直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若AD=1，∠ACD=θ，则cosθ=______．

正确答案

解析

解：根据弦切角定理得，△BCA与△CDA相似，所以，

所以AC=2．

在直角三角形ACD中可得CD=，

所以cosθ=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2+2（k-2）x+k=0（k是整数）的最大整数根．P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点．若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2+PB2+PC2的值．

正确答案

解：设方程x2+2（k-2）x+k=0的两个根为x1，x2，x1≤x2．由根与系数的关系得x1+x2=4-2k，①x1x2=k．②

由题设及①知，x1，x2都是整数．从①，②消去k，得2x1x2+x1+x2=4，（2x1+1）（2x2+1）=9．

由上式知，x2≤4，且当k=0时，x2=4，故最大的整数根为4．

于是⊙O的直径为4，所以BC≤4．

因为BC=PC-PB为正整数，所以BC=1，2，3或4．

连接AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以△PAB∽△PCA，．

故PA2=PB（PB+BC）③

（1）当BC=1时，由③得，PA2=PB2+PB，于是PB2＜PA2＜（PB+1）2，矛盾！

（2）当BC=2时，由③得，PA2=PB2+2PB，于是PB2＜PA2＜（PB+1）2，矛盾！

（3）当BC=3时，由③得，PA2=PB2+3PB，于是（PA-PB）（PA+PB）=3PB，

由于PB不是合数，结合PA-PB＜PA+PB，

故只可能，，，

解得PA=2，PB=1．

此时PA2+PB2+PC2=21．

（4）当BC=4，由③得，PA2=PB2+4PB，于是（PB+1）2＜PB2+4PB=PA2＜（PB+2）2，矛盾．

综上所述PA2+PB2+PC2=21．

解析

解：设方程x2+2（k-2）x+k=0的两个根为x1，x2，x1≤x2．由根与系数的关系得x1+x2=4-2k，①x1x2=k．②

由题设及①知，x1，x2都是整数．从①，②消去k，得2x1x2+x1+x2=4，（2x1+1）（2x2+1）=9．

由上式知，x2≤4，且当k=0时，x2=4，故最大的整数根为4．

于是⊙O的直径为4，所以BC≤4．

因为BC=PC-PB为正整数，所以BC=1，2，3或4．

连接AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以△PAB∽△PCA，．

故PA2=PB（PB+BC）③

（1）当BC=1时，由③得，PA2=PB2+PB，于是PB2＜PA2＜（PB+1）2，矛盾！

（2）当BC=2时，由③得，PA2=PB2+2PB，于是PB2＜PA2＜（PB+1）2，矛盾！

（3）当BC=3时，由③得，PA2=PB2+3PB，于是（PA-PB）（PA+PB）=3PB，

由于PB不是合数，结合PA-PB＜PA+PB，

故只可能，，，

解得PA=2，PB=1．

此时PA2+PB2+PC2=21．

（4）当BC=4，由③得，PA2=PB2+4PB，于是（PB+1）2＜PB2+4PB=PA2＜（PB+2）2，矛盾．

综上所述PA2+PB2+PC2=21．

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