热门试卷

证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE，

∴∠E=∠CBE，

∴∠D=∠E；

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，

∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，

∴OM⊥AD，

∴AD∥BC，

∴∠A=∠CBE，

∵∠CBE=∠E，

∴∠A=∠E，

由（Ⅰ）知，∠D=∠E，

∴△ADE为等边三角形．

（Ⅰ）证明：连接ON，∠OND=90°，，△OBN为等边三角形，则CN⊥OB，

可证△DCN与△DNO相似，得DN2=DB•DO；

又DN2=DT•DM，则DT•DM=DO•DC-------（5分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，且∠TDO=∠CDM，

所以△DTO与△DBM相似，则∠DOT=∠DMC-------（10分）

因为，所以∠BMC=15°

证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，

∴MN2=PN2=NA•NB，

∴=，

又∵∠PNA=∠BNP，

∴△PNA∽△BNP，

∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．

∵MC=BC，

∴∠MAC=∠BAC，

∴∠MAP=∠PAB，

∴△APM∽△ABP…（5分）

（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，

∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，

∴PM∥CD．

∵△APM∽△ABP，

∴∠PMA=∠BPA

∵PM是圆O的切线，

∴∠PMA=∠MCP，

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，

∴MC∥PD，

∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）

（1）证明：∵过点P作圆O的切线PC，切点为C，过点P的直线与圆O交于点A，B（PA＜PB），

∴由切割线定理得PC2=PA•PB

∵AB的中点为D，

∴AD=BD，

∴PD2-PC2=PD2-PA•PB=PD2-（PD-AD）（PD+AD）=AD2，

由勾股定理得AD2=OA2-OD2，OA=OC，

∴PD2-PC2=OC2-OD2；

（2）解：由题意，OD=，AD=，

由（1）PD2-PC2=OC2-OD2，

∵PC=4，

∴（PA+）2-42=22-2，∴PA=2．

证明：（Ⅰ）由题意，BC为半圆O的直径，A为半圆O上一点，

∴∠BAC=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD=∠ACD，

∵PA与半圆O切于点A，

∴∠PAB=∠ACD，

∴∠PAB=∠BAD，

∴AB平分∠PAD；

（Ⅱ）连接AC，

∵∠PAB=∠PCA，∠P=∠P，

∴△PAB∽△PCA，

∴．

在Rt△BAC中，AD⊥CD，

∴，

∴，=，

∴，=，

∴=，

∴．

（Ⅰ）证明：连接AB，在EA的延长线上取点F．

∵AE是⊙O1的切线，切点为A，

∴∠FAC=∠ABC，．…（1分）

∵∠FAC=∠DAE，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，

∴∠ABC=∠ADE，…（2分）

∴∠DAE=∠ADE．…（3分）

∴EA=ED，

∵EA2=EB•EC，

∴ED2=EB•EC．…（5分）

（Ⅱ）解：当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，

∴直线CA与⊙O2相切．…（6分）

如图②所示，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，

∵∠PAC=∠MAE，

∴∠ABC=∠ABE=90°

∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径．…（8分）

∴由切割线定理知：EA2=BE•CE，而CB=2，BE=6，CE=8

∴EA2=6×8=48，AE=．

故⊙O2的直径为．…（10分）

解：由切割线定理可得：

PT2=PA•PB

∵PA=2，PT=4

∴PB=8

∴AB=PB-PA=8-2=6．

故答案为：6．