热门试卷

（Ⅰ）证明：∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

又∠ACB=∠APB

∴∠ABC=∠APB

∵∠BAD=∠PAB，

∴△ABD∽△APB，

∴∠ABP=∠D；

（Ⅱ）解：∵△ABD∽△APB，

∴，

∴AB=AC=3，AP=2，

∴AD=，

∴DP=AD-AP=，

设DE与圆相切于点E，则DE2=DP•DA=，

∴DE=．

解：设两圆的切线为AF，则∠MCA=∠A，∠NBC=∠A，

∴∠MCA=∠NBC，

∴BD∥CE；

圆外切时结论还成立．

证明如下：设两圆的切线为MN，则∠MCA=∠MAC，∠NBA=∠NAB，

∴∠MCA=∠NBA，

∴BD∥CE．

证明：∵BC是⊙A的切线，∴AC⊥BC，

∵∠ACD+∠BCD=90°，AC=AE，BC=BD，

∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠BDC，

∵∠ADE=∠BDC，∴∠E+∠ADE=90°，

∴AE⊥AB．

延长DB交⊙B于点F，连接FC，则DF=2DB，∠DCF=90°，

∴∠ACD=∠F，∴∠E=∠F，∴Rt△ADE∽Rt△CDF，

∴，∴DE•DC=AD•DF，

∵DF=2DB，

∴DE•DC=2AD•DB．

证明：连接OF．

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．

所以∠OFC+∠CFD=90°．

因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．

因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．

因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．

所以DE2=DB•DA．（10分）

证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACB的平分线，

所以=．

又AC=AB，所以= ①

因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，

所以，BM•BA=BN•BC，即=②

由①、②可知 =，

所以BN=2AM．

证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE

∵，∴∠AOC=∠AOE

∴∠AOC=∠CDE

∴∠COP=∠PDF

∵∠P=∠P

∴△PDF∽△POC

∴

∴PF×PO=PD×PC

由割线定理可得PC×PD=PA×PB

∴PF•PO=PA•PB．

证明：因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．             …（2分）

因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，

所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．               …（6分）

所以=，即AD•CA=BD•EC．                      …（8分）

因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，

所以CD2=BD•EC．…（10分）

证明：（1）如图，连结OE、BE，则

∵DE为圆O的切线，∴OE⊥DE

∴∠OBD=∠OED=90°．

∴O、B、D、E四点共圆．…（5分）

（2）∵DE为圆O的切线，DB为圆O的切线，∴DE=DB

∵三角形BEC是直角三角形

∴DB=DE=DC  

即D是BC的中点  …（8分）

（3）延长DO交圆O于点H，

∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．

可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．

∵OH=AB，OD为△ABC的中位线，得DO=AC，

∴DE2=DM•（AC）+DM•（AB），

化简得2DE2=DM•AC+DM•AB  …（12分）

证明：（I）∵PA与圆O相切于点A，

∴∠PAB=∠ACB

∵BC为圆O的直径，

∴∠BAC=90°

∴∠ACB=90°-∠B

∵BC⊥OP，

∴∠BDO=90°-∠B

∴∠BDO=∠PDA=∠PAB

即△PAD为等腰三角形

∴PA=PD；

（Ⅱ）连接OA

在△OAC和△PAD中

∴∠OAC=∠OCA=∠PDA=∠PAB

∴△OAC∽△PAD

∴

即AC•AP=AD•OA

又∵OA=OC

∴AC•AP=AD•OC

解：∵AP是⊙O的切线，A为切点，∴PA2=PB×PC

∵PA=8，PB=4，∴PC=16，得PC=2PA

∵∠PAB=∠PCA，∠P是公共角

∴△PAB∽△PCA，得=，即AC=2AB

∵Rt△ABC中，BC=PC-PB=12

∴AC2+AB2=BC2，即5AB2=144，得AB=

∴AC=2AB=．