- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求AD•AE的值．
正确答案
∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴
（Ⅱ）∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC，
∴PC=20，BC=15，
又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=225，
又由（Ⅰ）知
连接EC，则∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴
∴
解析
∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴
（Ⅱ）∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC，
∴PC=20，BC=15，
又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=225，
又由（Ⅰ）知
连接EC，则∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴
∴
（1）求证：BE是圆O的切线；
（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的长．
正确答案
∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，
∴∠EBC=∠BAC．
又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，
∵∠GBC+∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠EBC=90°，∴OB⊥BE．
∴BE是圆O的切线．…（5分）
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，
∴AE•BD=AB•BE，AE=6，AB=4，BD=3，
∴
由切割线定理得BE2=DE•AE，
∴
解析
∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，
∴∠EBC=∠BAC．
又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，
∵∠GBC+∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠EBC=90°，∴OB⊥BE．
∴BE是圆O的切线．…（5分）
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，
∴AE•BD=AB•BE，AE=6，AB=4，BD=3，
∴
由切割线定理得BE2=DE•AE，
∴
正确答案
8
2
解析
解：∵AB和CD是圆O的两条弦，
∴CE•EB=AE•EB，
∵CE=DE=4，AE：BE=4：1，
∴AE•
∴AE=8，
∵△ACE∽△DBE，
∴
故答案为：8，2．
B．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R的长为______．
正确答案
1
解析
∵直线l：3ρcosθ-4ρsinθ=3，
直线l的普通方程：3x-4y-3=0，
所以P到l的距离：
故答案为：1．
B．解：如图，∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAB=∠C，
又∵∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，
∴
∴
故答案为：
（Ⅰ）求证：∠P=∠EDF；
（Ⅱ）求证：CE•EB=EF•EP．
正确答案
证明：（1）∵DE2=EF•EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．
∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，
∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．
∴DE：PE=EF：EA．
即EF•EP=DE•EA．
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE•EA=CE•EB．
∴CE•EB=EF•EP．
解析
证明：（1）∵DE2=EF•EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．
∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，
∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．
∴DE：PE=EF：EA．
即EF•EP=DE•EA．
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE•EA=CE•EB．
∴CE•EB=EF•EP．
正确答案
30°
解析
解：∵直线DE切⊙O于点D，且与AB的延长线交于点C
∴CD2=CB×CA
∵CD=
∴CA=3
∴AB=2
∴OD=1
连接OD，则OD⊥CD，
在直角三角形OCD中，OD=1，OC=2，∴
∴∠OCD=30°
即∠ACE=30°
故答案为：30°
如图，已知AB是半径为5的圆O的弦，过点A，B的切线交于点P，若AB=6，则PA等于（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
∵过点A，B的切线交于点P，
∴OB⊥BP，OP⊥AB，
∵AB=6，OB=5，
∴OC=4，
∵OB2=OC•OP，
∴25=4OP，
∴OP=
∴CP=
∴PA=
故选：C．
①BD平分∠CBF；
②FB2=FD•FA；
③AE•CE=BE•DE；
④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（ ）
正确答案
解析
解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，
∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，
∴∠FBD=∠BAF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠DAC．
∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由
由
正确结论有①②④．
故答案为D
A3
B
C2
D
正确答案
解析
解：如图，延长CP，交⊙O于D
由垂径定理可得：
PC=PD
由相交弦定理得：
PA•PB=PC•PD=PC2又由AP=4，PB=2
∴PC=
故选B
已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆O于点E，DE=1，则BC的长为______．
正确答案
解析
解：连结OC，过E作EF⊥OC于F，连接OE，
∵AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，
过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，
∴四边形CDEF是矩形，
∵DE=1，
∴CF=DE=1，∴OF=OC-1=
∴CD=EF=
∵CD2=DE•DA，∴DA=3，
∴AC2=CD2+AD2=12，
∴BC2=AB2-AC2=16-12=4，
∴BC=2．
故答案为：2．
正确答案
60°
解析
解：如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．
由AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥CE．
∵AF=3FB，AF+FB=2R，
∴FB=
∴∠ABE=60°．
∴∠CDE=∠ABE=60°；
∴AE=BEtan60°=2 
在Rt△ACE，AC=
由割线定理可得：CD•CA=CE•CB，
∴CD=
故答案为60°； 
（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；
（Ⅱ）若⊙O的半径为2
正确答案
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
因为OB⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM2=PN2=PA•PC
（Ⅱ）∵OM=2，BO=2
∵BM•MN=CM•MA=（2
∴MN=2
解析
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
因为OB⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM2=PN2=PA•PC
（Ⅱ）∵OM=2，BO=2
∵BM•MN=CM•MA=（2
∴MN=2
如图，已知两圆交于A，B两点，过点A，B的直线分别与两圆交于P，Q和M，N，求证：PM∥QN．
正确答案
解：连结AB，易得∠ABN=∠APM，∠ABN+∠AQN=π，
所以∠APM+∠AQN=π，
又点P，A，Q三点共线，
故PM∥QN．（10分）
解析
解：连结AB，易得∠ABN=∠APM，∠ABN+∠AQN=π，
所以∠APM+∠AQN=π，
又点P，A，Q三点共线，
故PM∥QN．（10分）
（1）求证：
（2）求∠PCE的大小．
正确答案
（本小题满分10分）
（1）证明：由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，
则△PED∽△PAC，则
又
（2）解：由∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，
得∠CDE=∠ECD，
在△ECD中，∠CED=30°，
∴∠PCE=75°．（10分）
解析
（本小题满分10分）
（1）证明：由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，
则△PED∽△PAC，则
又
（2）解：由∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，
得∠CDE=∠ECD，
在△ECD中，∠CED=30°，
∴∠PCE=75°．（10分）
正确答案
解析
∴PB=PD+BD=4
由切割线定理得PA2=PD•PB=12
∴AP=2
又∵PE=PA
∴PE=2
又∠PAC=∠ABC=60°
∴AE=2
又由DE=PE-PD=
BE=BD-DE=2
由相交弦定理可得：
AE•CE=BE•ED=2
即CE=
∴AC=AE+CE=3
故答案：
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