- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
（1）证明：AF•DA=AC•DF
（2）若圆的半径为2，OE=EB=
正确答案
（1）证明：∵AB是圆O的直径，AF⊥AB，
∴∠CAF=∠ADF，
∴△CAF∽△ADF，
∴
∴AF•DA=AC•DF
（2）解：∵圆的半径为2，OE=EB，ED=
∴CE•ED=AE•EB，即CE•
∵AF=2，AF是切线，
∴AF2=FC•FD，即4=FC•（FC+2+1），
∴FC=1．
解析
（1）证明：∵AB是圆O的直径，AF⊥AB，
∴∠CAF=∠ADF，
∴△CAF∽△ADF，
∴
∴AF•DA=AC•DF
（2）解：∵圆的半径为2，OE=EB，ED=
∴CE•ED=AE•EB，即CE•
∵AF=2，AF是切线，
∴AF2=FC•FD，即4=FC•（FC+2+1），
∴FC=1．
正确答案
解析
解：∵AE是圆O的切线，
∴∠EAC=∠B，
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC．
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∵BC=2CE=2，AE是圆O的切线，
∴AE2=CE•BE=3，
∴AE=
故答案为：
正确答案
解析
解：设半径为R，
则AD=
由射影定理得：
CD2=AD•BD
则CD=
从而θ=
故tan2
故答案为：
如图，在⊙O中，AB=2CD．求证：
正确答案
而三角形AEF、三角形BEF都是直角三角形，那就有AE=BE＞AF=CD，即AE＞CD，BE＞CD，所以
从而就有
解析
而三角形AEF、三角形BEF都是直角三角形，那就有AE=BE＞AF=CD，即AE＞CD，BE＞CD，所以
从而就有
正确答案
4
解析
解：PC切圆O于点C，连接OC，
∴OC⊥PC，
∵OC=3，OP=PA+AO=5，
在RT△OPC中，
PC=
又∵弦CD⊥AB于点E，
∴PC2=PE•PO，即16=PE•5，
∴PE=
∴OE=PO-PE=
故答案为：4，
正确答案
解析
解：设r是⊙O的半径．由切割线定理可知：CE2=CA•CB，
即42=（2r+2）×2，解得r=3．
因为EC是圆的切线，所以OE⊥EC，AD⊥DC，
所以△ADC∽△OEC，所以
所以
解得AD=
故答案为：
正确答案
8
解析
解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△PAB∽△PCA，
∴
∵PA=6，AB=4，BC=9，
∴
∴PB=3，AC=8，
故答案为：8．
正确答案
解析
解：设AB=x，则
∵DM=2，CM=3，BM=6，
∴ME=9，
∵DE是直径，AE切圆O于点E，
∴AE2=x•（x+9），
∵AE2=（x+6）2-92，
∴x=15，
∴AE=6
∵ME=9，
∴tanA=
故答案为：
（1）求证：O，C，D，F四点共圆；
（2）求证：2DF2=DE•AB+DE•AC．
正确答案
因为AC为直径，所以CF⊥AB，
因为O，D分别为AC，BC的中点，所以OD∥AB，
所以CF⊥OD．
因为OF=OC，则∠EOF=∠EOC，且OD=OD，
所以△OCD≌△OFD．
所以∠OCD=∠OFD=90°．
所以O，C，D，F四点共圆．…（5分）
（Ⅱ）设圆的半径为r，因为OF⊥FD，所以FD是圆的切线，
所以DF2=DE•（DE+2r）=DE•（DO+2r）=DE•DO+DE•r
=DE
故2DF2=DE•AB+DE•AC．…（10分）
解析
因为AC为直径，所以CF⊥AB，
因为O，D分别为AC，BC的中点，所以OD∥AB，
所以CF⊥OD．
因为OF=OC，则∠EOF=∠EOC，且OD=OD，
所以△OCD≌△OFD．
所以∠OCD=∠OFD=90°．
所以O，C，D，F四点共圆．…（5分）
（Ⅱ）设圆的半径为r，因为OF⊥FD，所以FD是圆的切线，
所以DF2=DE•（DE+2r）=DE•（DO+2r）=DE•DO+DE•r
=DE
故2DF2=DE•AB+DE•AC．…（10分）
正确答案
2
解析
由切割线定理得CD2=CB•AC=12，
∴CD=2
∵OB=2，BC=2，
∴OC=4，
∴cos∠OCD=
故∠DAB=
故答案为：2
正确答案
2
解析
解：连接OC，则OC⊥AC，
∵∠ABC=30°，BC=2
∴OB=2，∠DOC=60°，
∴OA=2OC=4，
∵OD=2，
∴AD=2．
故答案为：2．
正确答案
4
解析
解：由相交弦定理得：CE•ED=AE•EB⇒
∴OB=
又∵MD2=MB•MA=MB•（MB+BA）．
设MB=x
∴16=X•（X+8）⇒x=-4+4
故答案为：4，4
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=2
正确答案
（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，
∴∠DAE+∠ADE=90°
∵DA平分∠BDC．
∴∠ADE=∠BDA
∵OA=OD
∴∠BDA=∠OAD
∴∠OAD=∠ADE
∴∠DAE+∠OAD=90°
即：AE是⊙O的切线
（2）在△ADE和△BDA中，
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°
由（1）得：∠DAE=∠ABD
又∵∠BAD=∠AED
∵AB=2
求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°
进一步求得：CD=2
故答案为：（1）略
（2）CD=2
解析
（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，
∴∠DAE+∠ADE=90°
∵DA平分∠BDC．
∴∠ADE=∠BDA
∵OA=OD
∴∠BDA=∠OAD
∴∠OAD=∠ADE
∴∠DAE+∠OAD=90°
即：AE是⊙O的切线
（2）在△ADE和△BDA中，
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°
由（1）得：∠DAE=∠ABD
又∵∠BAD=∠AED
∵AB=2
求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°
进一步求得：CD=2
故答案为：（1）略
（2）CD=2
（Ⅰ）求证：AC是圆O的切线；
（Ⅱ）如果AD=6，AE=6
正确答案
∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（Ⅱ）解：∵AE是⊙O的切线，AD=6，AE=6
∴AE2=AD•AB，
∴AB=
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，
∴
设DE=
∵DE2+BE2=BD2，
∴2x2+4x2=36，
解得x=±
∴BE=2
解析
∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（Ⅱ）解：∵AE是⊙O的切线，AD=6，AE=6
∴AE2=AD•AB，
∴AB=
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，
∴
设DE=
∵DE2+BE2=BD2，
∴2x2+4x2=36，
解得x=±
∴BE=2
正确答案
30°
1
解析
∵△ACB中，∠ACB=120°，AC=BC，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠DOB=60°，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠EDB=30°，
∴DE=EB=
∵BC=3，
∴BE=1
故答案为：30°；1．
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