热门试卷

证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，

∵OC∥AD，∴∠OAD=∠BOC，∠DOC=∠ODA．

∴∠DOC=∠BOC，∵OD=OB，OC=OC，

∴△DOC≌△BOC．∴∠ODC=∠OBC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，

∴DC是⊙O的切线．

（Ⅱ）连接BD，∵AB是⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBC=∠ADB．

∵∠OAD=∠BOC．∴△ADB∽△OBC．∴，

∴AD•OC=AB•OB=2R2．

解：（Ⅰ）∵MA为圆O的切线，

∴由弦切角定理可得∠MAB=∠ACM，

∵∠M=∠M，

∴△ABM∽△CAM，

∴=

∵∠BAC的角平分线与BC交于点D，

∴由角平分线定理可得=，

∴=；

（Ⅱ）连接AO，CE．

∵MA为圆O的切线，MBC是过点O的割线，

∴由切割线定理得MA2=MB•MC，

∵MA=6，MB=3，

∴62=3MC

∴MC=12，

∵MB=3，∴BC=9，

∵∠CAB=90°，

∴AC2+AB2=BC2=81，

由（1）知==，

∴AC=，AB=，

∵AE平分∠CAB，

∴∠CAE=∠EAB，

∵同弧所对的圆周角相等，∠E=∠ABD，

∴△ACE∽△ADB，

∴AD•AE=AB•AC=．

解：（1）因为∠EAC=∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠BCF+∠ACF=∠ABC+∠BCF+∠ABF=∠BCF+∠FBC

又∠EAC=2∠FAB=2∠BCF

所以∠FCB=∠FBC，

所以FB=FC，（3分）

（2）因为在△FBA∽△FDB中，∠BFD是公共角，

由于同弦所对的圆周角相等，故∠FAB等于∠FCB，又由（1）∠FCB=∠FBC

故可得∠FBC=∠FAB

所以△FBA∽△FDB，所以，整理得FB2=FA•FD（6分）

（3）∠EAC=120°，所以∠BAC=60°

因为AB为直径，所以∠ACB=90°，

∴∠ABC=30°，

又∠DAC=60°，∠ACD=90°，可得∠ADC=30°

在直角三角形ABC中，由于BC=6，所以AC=

在直角三角形ADC中，可得（10分）

（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆

由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG

∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，

∴∠FGE=∠BAF

∴∠FGE=∠EFG，

∴EF=EG…（5分）

（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，

∴EF2=OH2+HE2-OF2=48，

∴EF=EG=4，

∴GH=EH-EG=8-4…（10分）

（1）证明：如图所示，连接OC．

∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．

（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．

∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．

∵△ACD∽△AFC，

∴，

而AD=2，∴AC=4．

由切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），

∴42=2×（2+2r），解得r=3．

（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，

∴∠BCD=∠A，由题设知：=，

故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．

∵B，E，F，C四点共圆，

∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°

∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．

（2）解：连接CE，

∵∠CBE=90°，

∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，

由DB=BE，有CE=DC，

又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，

而DC2=DB•DA=3DB2，

故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．

解：连接OC．如图所示，

∵∠ABC=60°，∠BAC=40°，∴∠ACB=80°．

∵OE⊥AB，

∴E为的中点，∴和的度数均为80°．

∴∠EOC=80°+80°=160°．

∴∠OEC=10°．