热门试卷

（I）证明：PA与圆O相切于点A，AB是弦，

∴∠PAB=∠C，

又∵∠APD=∠CPE，

∴∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，

∵∠ADE=∠PAB+∠APD，

∠AED=∠C+∠CPE，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE．

（II）解：由（I）知∠PAB=∠C=30°，

∵∠APC=∠BPA，

△APC∽△BPA，

∴．

∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．

在Rt△ABC中，C=30°，

，

∴．

解：连接DO；

∵PD为切线，PEF为割线，由切割线定理

PD2=PE•PF；

∵PD=4，PF=12，

∴PE=4，

∴EF=PF-PE=8，EO=4；

∵PD为切线，D为切点，

∴OD⊥PD；

∵在Rt△PDO中，OD=4，PD=4，

∴∠DPO=30°．

（Ⅰ）证明：由CD为半圆O的切线，根据弦切角定理得∠DCA=∠CBA，

又因为∠CDA=∠BCA=90°，得∠BAC=∠CAD，

所以AC平分∠BAD；…（5分）

（Ⅱ）解：由CD为半圆O的切线，根据弦切角定理得∠DCE=∠CDA，

又因为∠CAD=∠CAB，所以∠DCE=∠CAB，

可得△DCE∽△CAB，则，

又因为EC=BC，AB=3，DE=，

所以BC=，即S△ABC．…（10分）

证明：（Ⅰ）∵PE是⊙O的切线，∴PE2=PC•PD，

又∵PE2=PM•PN，

∴，

又∵∠CPM=∠NPD，

∴△PCM∽△PND，

∴∠PCM=∠PND，

∴∠DCM+∠PND=180°，

∴D，C，M，N四点共圆．---------（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BCD=∠PND，

由圆周角定理得∠BCD+∠NBP=90°，∠PND+∠NBP=90°，

∴∠BPN=90°，∴PB⊥PN．-------------（10分）

解：由相交弦定理可得：3×1=×FC，∴FC=2

∵BD∥CF，∴，∴BD=

设CD=x，则AD=4x，∵BD是圆的切线，

∴由切割线定理可得

∴x=

故答案为：

（1证明：∵PA与圆O相切于点A，

∴∠PAB=∠ADB

∵BD为圆O的直径，

∴∠BAD=90°

∴∠ADB=90°-∠B

∵BD⊥OP，

∴∠BCO=90°-∠B

∴∠BCO=∠PCA=∠PAB

即△PAC为等腰三角形

∴PA=PC；…（5分）

（2）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N．

∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O的割线，

∴PA2=PM•PN=（PO-OM）（PO+ON）．

∵PO=5，OM=ON=3，∴PA=4．

由（1）知PC=PA=4，∴OC=1．

在Rt△OAP中，cos∠AOP==．

∴AC2=9+1-2×3×1×=．

∴AC=．…（10分）

解：由题意，OA=OB=1，OP=OQ=n

△AOP中，根据余弦定理AP2=OA2+OP2-2OA•OPcos∠AOP

同理△AOQ中，AQ2=OA2+OQ2-2OA•OQcos∠AOQ

因为∠AOP+∠AOQ=180°，

所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2+PQ2=2+2n2+（2n）2=2+6n2为定值．