- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
正确答案
证明：连接EF，则
∵直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC于点E，
∴∠PAB=∠PCA，∠APE=∠CPE，
∴∠ADP=∠PEC，△PAC∽△PBA
∴∠AED=∠ADE，
∵点H是线段ED的中点，
∴AF平分∠CAB，
∴
∵∠APC的角平分线交AC于点E，
∴
∴
∴EF∥AB，
∵AB⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴∠AEH=∠AFE，
∴∠AFE=∠ADE，
∴A，E，F，D四点共圆．
解析
证明：连接EF，则
∵直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC于点E，
∴∠PAB=∠PCA，∠APE=∠CPE，
∴∠ADP=∠PEC，△PAC∽△PBA
∴∠AED=∠ADE，
∵点H是线段ED的中点，
∴AF平分∠CAB，
∴
∵∠APC的角平分线交AC于点E，
∴
∴
∴EF∥AB，
∵AB⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴∠AEH=∠AFE，
∴∠AFE=∠ADE，
∴A，E，F，D四点共圆．
正确答案
90°
解析
∵∠OAM，∠OPM是同弦OM所对的角，
∴∠OAM=∠OPM
∴∠OAM+∠APM=∠OPM+∠APM=90°
故答案为：90°．
（几何证明选讲选做题）已知圆的直径AB=10，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D（AD＜BD），若CD=4，则AC的长为______．
正确答案
2
解析
解：连接AC、BC，则
∵AB是直径，CD⊥AB
∴△ACD∽△ABC
∴
∵AB=10，CD=4
∴AC=2
故答案为：2
（Ⅰ）求证：C，P，B三点共线；
（Ⅱ）求证：CD=CA．
正确答案
解：（Ⅰ）连接PC，PA，PB，
∵AC是圆O1的直径，∴∠APC=90°，
作⊙O1与⊙O2的内公切线MP交AB与点M．
又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，
∴∠CPB=180°．
∴C，P，B三点共线．
（Ⅱ）∵CD切圆O2于点D，∴CD2=CP•CB．
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵AP⊥BC，∴CA2=CP•CB．
故CD=CA．
解析
解：（Ⅰ）连接PC，PA，PB，
∵AC是圆O1的直径，∴∠APC=90°，
作⊙O1与⊙O2的内公切线MP交AB与点M．
又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，
∴∠CPB=180°．
∴C，P，B三点共线．
（Ⅱ）∵CD切圆O2于点D，∴CD2=CP•CB．
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵AP⊥BC，∴CA2=CP•CB．
故CD=CA．
如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC=4，PB=8，则S△OBC=______．
正确答案
解析
解：∵PC切圆O于点C，根据切割线定理即可得出PC2=PA•PB，
∴42=8PA，解得PA=2．
设圆的半径为R，
则2+2R=8，解得R=3．
在Rt△OCP中，sin∠COP=
∵∠BOC+∠COP=π，∴sin∠BOC=sin（π-∠COP）=sin∠COP=
∴S△OBC=
故答案为：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵PA与⊙O相切于A点，∴OA⊥AP．
在Rt△OAP中，tan∠APO=
故选D．
（选做题）圆内非直径的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA=PB=4，PC=
正确答案
10
解析
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴
∴
∴PD2=64
∴PD=8
∴CD=PD+PC=8+2=10，
故答案为：10
正确答案
解：∵PA是圆O的切线，PDB是圆O的割线，
∴PA2=PD•PB，又PD=1，BD=8，
∴PA=3，（3分）
又PE=PA，∴PE=3．
∵PA是圆O的切线，∴∠PAE=∠ABC=60o，
又PE=PA，∴△PAE是等边三角形，∴PE=3．（7分）
∴DE=PE-PD=2，∴BE=BD-DE=6．
由相交弦定理，得AE•CE=BE•DE，∴CE=4．（10分）
解析
解：∵PA是圆O的切线，PDB是圆O的割线，
∴PA2=PD•PB，又PD=1，BD=8，
∴PA=3，（3分）
又PE=PA，∴PE=3．
∵PA是圆O的切线，∴∠PAE=∠ABC=60o，
又PE=PA，∴△PAE是等边三角形，∴PE=3．（7分）
∴DE=PE-PD=2，∴BE=BD-DE=6．
由相交弦定理，得AE•CE=BE•DE，∴CE=4．（10分）
正确答案
解析
解：由题意，设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得8=8k2，∴k=1．
∴AF=4，BF=2，BE=1，
∴AE=7；
由切割线定理得CE2=BE•EA=1×7=7．
∴CE=
故答案为：
（1）求证：AB2=BD•BE；
（2）若∠FED=∠CED，求证：点A、B、E、F四点共圆．
正确答案
证明：（1）∵直线AP是圆O的切线，切点为A，
∴∠PAB=∠ADB，
∴∠PAB=∠BAC，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠EBA，
∴△ABD∽△EBA，
∴
∴AB2=BD•BE；
（2）由（1）可知∠BAD=∠BEA，
∵∠BEA=∠CED，∠FED=∠CED，
∴∠BAD=∠FED，
∴∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°
∴点A、B、E、F四点共圆．
解析
证明：（1）∵直线AP是圆O的切线，切点为A，
∴∠PAB=∠ADB，
∴∠PAB=∠BAC，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠EBA，
∴△ABD∽△EBA，
∴
∴AB2=BD•BE；
（2）由（1）可知∠BAD=∠BEA，
∵∠BEA=∠CED，∠FED=∠CED，
∴∠BAD=∠FED，
∴∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°
∴点A、B、E、F四点共圆．
（1）求证：AE•BF=CE•EF；
（2）若DF•DB=5，OE=2，求圆O的半径．
正确答案
（1）证明：∵直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，
∴∠AEC=∠EFB=90°
∵∠ACE=∠EBF
∴△ACE∽△EBF，
∴
∴AE•BF=CE•EF；
（2）解：连接AD，则△DFE∽△DEB，∴
△AED∽△DEB，∴
∵OE=2，
∴（r+2）（r-2）=5
∴r=3．
解析
（1）证明：∵直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，
∴∠AEC=∠EFB=90°
∵∠ACE=∠EBF
∴△ACE∽△EBF，
∴
∴AE•BF=CE•EF；
（2）解：连接AD，则△DFE∽△DEB，∴
△AED∽△DEB，∴
∵OE=2，
∴（r+2）（r-2）=5
∴r=3．
正确答案
解：由切割线定理得：DB•DA=DC2，即DB（DB+BA）=DC2，
DB2+3DB-28=0，得DB=4．
∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，
∴
得AC=
解析
解：由切割线定理得：DB•DA=DC2，即DB（DB+BA）=DC2，
DB2+3DB-28=0，得DB=4．
∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，
∴
得AC=
正确答案
60°
解析
解：∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠D+∠B=180°．
又
∴3∠D=180°，解得∠D=60°．
∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°．
∴∠OAD+∠OCD=360°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=360°-（60°+120°+60°+60°）=60°．
故答案为：60°．
（Ⅰ）求MP•NP的值
（Ⅱ）求证：∠C=∠AMD．
正确答案
因为BC=6，CD=4
所以AC=9，
所以AD=5，
因为P为AD的中点，
所以AP=PD=
所以MP•NP=AP•PD=
（Ⅱ）证明：连接BD，则∠ABC=90°，
所以∠C+∠CAB=90°，
因为AB为直径，
所以∠ADB=90°，
所以∠CAB+∠DBA=90°，
所以∠C=∠DBA，
因为∠DBA=∠AMD，
所以∠C=∠AMD．
解析
因为BC=6，CD=4
所以AC=9，
所以AD=5，
因为P为AD的中点，
所以AP=PD=
所以MP•NP=AP•PD=
（Ⅱ）证明：连接BD，则∠ABC=90°，
所以∠C+∠CAB=90°，
因为AB为直径，
所以∠ADB=90°，
所以∠CAB+∠DBA=90°，
所以∠C=∠DBA，
因为∠DBA=∠AMD，
所以∠C=∠AMD．
正确答案
5
解析
解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=10，∴BC=AB•sin60°=5
∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．
在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=
由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴（
故答案为：5．
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