- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
设有平面α，β，γ两两互相垂直，且α，β，γ三个平面有一个公共点A，现有一个半径为1的小球与α，β，γ这三个平面均相切，则小球上任一点到点A的最近距离为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：依题意可知球心到三面的距离均相等，同时三个面两两相互垂直
故推断出球心与A构成了以1为边长的正方体，A到球心的距离为正方体的对角线长度为
∴小球上到点A最近的距离为A到球心的距离减去半径，即
故选D．
点P在直径为
A
B6
C
D
正确答案
解析
解：设三条弦长分别为x，2x，y，则：x2+（2x）2+y2=6，即：5x2+y2=6，设 
故答案为：
（理科） 点A不在⊙O上，过A作⊙O的割线交⊙O于B，C且AB•AC=64，OA=10，则⊙O的半径为______．
正确答案
则∵AB•AC=64，
则过A点作圆的切线AD，切点为D
则AD=8
∵OA=10，
此时⊙O的半径R=
若A在圆内，
则∵AB•AC=64，OA=10，
此时⊙O的半径R满足：
（R-OA）•（R+OA）=AB•AC
解得R=
故答案为：6或
解析
则∵AB•AC=64，
则过A点作圆的切线AD，切点为D
则AD=8
∵OA=10，
此时⊙O的半径R=
若A在圆内，
则∵AB•AC=64，OA=10，
此时⊙O的半径R满足：
（R-OA）•（R+OA）=AB•AC
解得R=
故答案为：6或
（1）证明：AC2=AD•AE；
（2）证明：FG∥AC．
正确答案
证明：（1）因为AB是ΘO的一条切线，AE为割线
所以AB2=AD•AE，
又因为AB=AC，所以AD•AE=AC2…（5分）
（2）由（1）得
∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，
∴∠ADC=∠ACE．
∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC…（10分）
解析
证明：（1）因为AB是ΘO的一条切线，AE为割线
所以AB2=AD•AE，
又因为AB=AC，所以AD•AE=AC2…（5分）
（2）由（1）得
∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，
∴∠ADC=∠ACE．
∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC…（10分）
（1）求证：B，C，E，D四点共圆；
（2）当AB=12，
正确答案
由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA，∴PA2=PD•PE，
∴PA2=PB•PC=PA2=PD•PE，
又∠BPD为公共角，∴△PBD∽△PEC，
∴∠BDP=∠C
∴B，C，E，D四点共圆
（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，
∵∠PBD=∠F，∴∠F=∠PEC，
∴PE∥AF．
∵AB=12，∴AG=6．
∵PD⊥AB，∴PD∥OG．
∴PE∥OG∥AF，
∴∠AOG=∠EAF．
在Rt△AOG中，
∴
∴圆O的半径
解析
由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA，∴PA2=PD•PE，
∴PA2=PB•PC=PA2=PD•PE，
又∠BPD为公共角，∴△PBD∽△PEC，
∴∠BDP=∠C
∴B，C，E，D四点共圆
（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，
∵∠PBD=∠F，∴∠F=∠PEC，
∴PE∥AF．
∵AB=12，∴AG=6．
∵PD⊥AB，∴PD∥OG．
∴PE∥OG∥AF，
∴∠AOG=∠EAF．
在Rt△AOG中，
∴
∴圆O的半径
正确答案
4
20
解析
∵CD=2，AD=3，BD=4，
∴2DE=3×4，
∴DE=6，
∴CE=8，
∴圆O的半径为r=4．
过O作OF⊥AB，垂足为F，则DF=
∵△ODF∽△PDE，
∴
∴
∴PD=24，
∵PD=4，
∴PB=20．
故答案为：4；20．
正确答案
解析
所以OE=
所以AC=
故答案为：
正确答案
解析
解：如图所示，
∵
∵OA=OE，∴
∴
故答案为
正确答案
解析
解：∵AC为圆O的直径，∴CD⊥AB
∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3
∴AB=5
∴CD=
故答案为：
正确答案
6
解析
解：由切割线定理可得PA2=PC•PB，∴62=2×（2+BC），解得BC=16
如图所示，过点O作OD⊥BC，垂足为点D，连接OC，则CD=
在RT△OCD中，由勾股定理可得
故答案为6．
正确答案
解析
∵圆O的圆周角∠ABC对弧AC，且∠ABC=30°，
∴圆心角∠AOC=60°．
又∵直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，
∴OA⊥PA，
∴Rt△PAO中，OA=1，∠AOC=60°，
∴PA=OAtan60°=
故答案为：
（几何证明选讲选做题）从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=4，AC=8，圆O半径为5，则圆心O到直线AC的距离为______．
正确答案
4
解析
解：根据切割线定理，可得42=AB×8，∴AB=2，∴BC=6
∵圆O半径为5，
∴圆心O到直线AC的距离为
故答案为：4
正确答案
4
解析
解：∵QA是⊙O的切线，
∴QA2=QC•QD，
∵QC=1，CD=3，
∴QA2=4，
∴QA=2，
∴PA=4，
故答案为：4．
⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，已知AP=2cm，BP=6cm，CP：PD=1：3，则CD=______．
正确答案
8
解析
解：∵⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，
∴PA×PB=PC×PD，
又∵AP=2cm，BP=6cm，CP：PD=1：3，
∴设PC=x，PD=3x，可得2×6=3x2，解之得x=2（舍负）
因此CD=4x=8．
故答案为：8
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
D．（不等式选讲）
设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证：
正确答案
A、解：连接OD，则OD⊥DC，
在Rt△OED中，
在Rt△ODC中，∠DCO=30°，由DC=2得OD=DCtan30°=
所以BC=
B．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知
所以
C．解：由
D．证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1＞0，
所以
当且仅当
所以
解析
A、解：连接OD，则OD⊥DC，
在Rt△OED中，
在Rt△ODC中，∠DCO=30°，由DC=2得OD=DCtan30°=
所以BC=
B．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知
所以
C．解：由
D．证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1＞0，
所以
当且仅当
所以
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