- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，则BC=______．
正确答案
2
解析
由切割线定理得：PA2=PD•BD=9，
∴PA=3，
由弦切角定理得：∠PAC=∠ABC=60°，又由PA=PE
∴△PAE为等边三角形，则AE=PA=3，
连接AD，在△ADE中，ED=PE-PD=2，
由余弦定理得：AD=
又△AED～△BEC，相似比=ED：BE=1：2，
∴BC=2
故答案为：2
正确答案
解析
解：∵
∵PA是圆O的切线，A为切点，
∴PA2=PC×PB，即（
解之得PB=x，结合BC=2x，得
故答案为：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．
正确答案
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F．
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF．（5分）
解：（2）设⊙O半径为r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴
∴r2-r-12=0，解之得r=4，或r=-3（舍）．
∴S=πr2=16π．（5分）
解析
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F．
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF．（5分）
解：（2）设⊙O半径为r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴
∴r2-r-12=0，解之得r=4，或r=-3（舍）．
∴S=πr2=16π．（5分）
正确答案
解析
∵AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，
过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，
∴四边形CDEF是矩形，
∵DE=1，
∴CF=DE=1，∴OF=OC-1=
∴CD=EF=
∵CD2=DE•DA，∴DA=3，
∴AC2=CD2+AD2=12，
∴BC2=AB2-AC2=16-12=4，
∴BC=2．
故选：B．
选修4-1：几何证明选讲
AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的圆与BC相切于D点，与AB，AC交于E，F．求证：AE•CF=BE•AF．
正确答案
证明：连接ED
∵圆与BC切于D，
∴∠BDE=∠BAD
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC又∠DAC=∠DEF
∴∠BDE=∠DEF
∴EF∥BC
∴
解析
证明：连接ED
∵圆与BC切于D，
∴∠BDE=∠BAD
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC又∠DAC=∠DEF
∴∠BDE=∠DEF
∴EF∥BC
∴
正确答案
4
90°
解析
解：∵∠1=∠2，∴∠1=∠EBD
∴△EBD∽△ECB
∴
∴
根据EB2+BC2=EC2，可知∠CBE=90°
故答案为4，90°
正确答案
解：∵PA，PB是圆O的切线．
∴PA=PB，∠PAB=60°
∴△PAB是等边三角形．
在直角△ABC中，AB=AC•sin60°=2×
∴PA=PB=AB=3 
解析
解：∵PA，PB是圆O的切线．
∴PA=PB，∠PAB=60°
∴△PAB是等边三角形．
在直角△ABC中，AB=AC•sin60°=2×
∴PA=PB=AB=3
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=2
（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
正确答案
（1）证明：连接DO；
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即点E是边BC的中点；
（2）解：∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，
∴BC2=BD•BA，
∴（2EC）2=BD•BA，即BA•2
∴BA=3
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=
（3）解：当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，
又∵ED=EB，
∴△DEB是等腰直角三角形，则∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
解析
（1）证明：连接DO；
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即点E是边BC的中点；
（2）解：∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，
∴BC2=BD•BA，
∴（2EC）2=BD•BA，即BA•2
∴BA=3
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=
（3）解：当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，
又∵ED=EB，
∴△DEB是等腰直角三角形，则∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（Ⅰ）证明：△ACD∽△APC；
（Ⅱ）若GD=
正确答案
∴
∵点C是弧AD的中点，
∴
∴∠ACE=∠ADC，
∴∠CAP为公共角，
∴△ACD∽△APC；
（Ⅱ）解：连接DE，
∵GD是⊙O的切线，
∴∠GDX=∠CED，
∵
∴∠GED=∠ADE=∠CDA，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GP=GD=
∵GD2=GC•GE，
∴GE=3+2
∴PE=GE-GP=2+
解析
∴
∵点C是弧AD的中点，
∴
∴∠ACE=∠ADC，
∴∠CAP为公共角，
∴△ACD∽△APC；
（Ⅱ）解：连接DE，
∵GD是⊙O的切线，
∴∠GDX=∠CED，
∵
∴∠GED=∠ADE=∠CDA，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GP=GD=
∵GD2=GC•GE，
∴GE=3+2
∴PE=GE-GP=2+
如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作圆O交斜边于D，AC=6，AD=2．求BD和BC．
正确答案
∵AC=6，AD=2，
∴CD=4
由射影定理可得（4
∴BD=16，
∴BC2=BD•BA，
∴BC2=16×18，
∴BC=12
解析
∵AC=6，AD=2，
∴CD=4
由射影定理可得（4
∴BD=16，
∴BC2=BD•BA，
∴BC2=16×18，
∴BC=12
（1）求证：C、E、F、D四点共圆；
（2）求证：BE•BF=BC•BD．
正确答案
证明：（1）∵BA是⊙O的直径
∴∠EBA+∠EAB=90°
∵A、B、C、E四点共圆
∴∠DCE=∠EAB
∵AD是⊙O的切线
∴∠DAB=90°
∵∠DFE=∠EBA+∠DAB
∴∠DCE+∠DFE=∠EAB+∠EBA+∠DAB=180°
∴C、E、F、D四点共圆；
（2）∵C、E、F、D四点共圆
∴∠BCE=∠D
∵∠CBE=∠FBD
∴△BCE∽△BFD
∴
∴BE•BF=BC•BD．
解析
证明：（1）∵BA是⊙O的直径
∴∠EBA+∠EAB=90°
∵A、B、C、E四点共圆
∴∠DCE=∠EAB
∵AD是⊙O的切线
∴∠DAB=90°
∵∠DFE=∠EBA+∠DAB
∴∠DCE+∠DFE=∠EAB+∠EBA+∠DAB=180°
∴C、E、F、D四点共圆；
（2）∵C、E、F、D四点共圆
∴∠BCE=∠D
∵∠CBE=∠FBD
∴△BCE∽△BFD
∴
∴BE•BF=BC•BD．
正确答案
∵GD⊥AC，EH⊥AB，
∴由射影定理得：AG2=AD×AC，AE2=AH×AB．
∵∠BCD=∠BCH=90°
∴B、C、D、H四点共圆．
∴AD×AC=AH×AB
∴AG2=AE2，
又AG、AE都是正值．
∴AG=AE
解析
∵GD⊥AC，EH⊥AB，
∴由射影定理得：AG2=AD×AC，AE2=AH×AB．
∵∠BCD=∠BCH=90°
∴B、C、D、H四点共圆．
∴AD×AC=AH×AB
∴AG2=AE2，
又AG、AE都是正值．
∴AG=AE
正确答案
解析
∴由切割线定理得：
PC2=PA×PB，∵PC=4，PB=8，
∴PA=2，
∴OA=OB=3，连接OC，OC=3，
在直角三角形POC中，利用面积法有，
∴CE=
故填：
正确答案
证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，
所以∠CAE=∠CBA．
又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD
所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．
又EA2=EC•EB，
所以ED2=EB•EC．
解析
证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，
所以∠CAE=∠CBA．
又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD
所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．
又EA2=EC•EB，
所以ED2=EB•EC．
A36
B6
C24
D2
正确答案
解析
解：∵AB∥CD，AD=4
∴BC=AD=4
∵AE切圆于O于点A，
∴AE2=EB•EC，
∵BE=2
∴AE2=2
∴AE=6，
故选：B．
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