- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AC为直径的圆交AB于D，则AD的长为（ ）
A
B
C
D4
正确答案
解析
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵AC为直径，
∴CD⊥AB，
∴CD=
∴AD=
故选C．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．
正确答案
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB（2分）
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°（4分）
∴直线BD和⊙O相切．（5分）
（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°（6分）
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴
∵直径AB=10
∴OB=5．（7分）
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°（8分）
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB（9分）
∴
∴
解析
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB（2分）
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°（4分）
∴直线BD和⊙O相切．（5分）
（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°（6分）
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴
∵直径AB=10
∴OB=5．（7分）
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°（8分）
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB（9分）
∴
∴
如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P；N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点；过B点的切线交直线ON于K，则∠OKM=______．
正确答案
90°
解析
解：因为BK是圆O的切线，BN⊥OK．
有OB2=ON•OK，又OB=OA，
所以OP•OM=ON•OK，
即
又∠NOP=∠MOK，
所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90°．
故填：90°．
正确答案
证明：连接OE，∵PE切⊙O于点E，∴∠OEP=90°，∴∠OEB+∠BEP=90°，
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，
∵OB⊥AC于点O，∴∠OBE+∠BDO=90°．
故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，
又∵PE切⊙O于点E，∴PE2=PA•PC，
PD2=PA•PC．
解析
证明：连接OE，∵PE切⊙O于点E，∴∠OEP=90°，∴∠OEB+∠BEP=90°，
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，
∵OB⊥AC于点O，∴∠OBE+∠BDO=90°．
故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，
又∵PE切⊙O于点E，∴PE2=PA•PC，
PD2=PA•PC．
正确答案
3
解析
解：由切割线定理得PA2=PC•PB，
从而PB=9，BC=8
则圆心O到弦BC的距离是
故答案为：3
正确答案
9π
解析
解：∵AD为圆O的切线，ABC为圆O的割线
由切割线定理得：
AD2=AB•AC
即8AB=（4
∴AB=4，BC=AC-AB=4，
设圆O的半径为r，
由于圆心O到AC的距离为
故r2=（
则圆的面积为9π．
故答案为：9π．
如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M，N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM=MN=NC=1，求AB的长和⊙O的半径．
正确答案
解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，
∴∠BAC=90°，AB2=BM•BN．
∵BM=MN=NC=1，∴2BM2=AB2，
∴AB=
在Rt△BAC中，可得AB2+AC2=BC2，
∴2+AC2=9，AC=
∵CN•CM=CD•CA，
∴2=CD•
∴⊙O的半径为
解析
解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，
∴∠BAC=90°，AB2=BM•BN．
∵BM=MN=NC=1，∴2BM2=AB2，
∴AB=
在Rt△BAC中，可得AB2+AC2=BC2，
∴2+AC2=9，AC=
∵CN•CM=CD•CA，
∴2=CD•
∴⊙O的半径为
如图，△ABC的内切圆I与边AB、AC分别切于点D、E，O为△BCI的外心．证明：∠ODB=∠OEC．
正确答案
证明：由O是△BCI的外心，知∠BOI=2∠BCI=∠BCA．同理，∠COI=∠CBA．
则∠BOC=∠BOI+∠COI=∠BCA+∠CBA=180°-∠BAC．
于是，A，B，O，C 四点共圆．
由OB=OC，知∠BAO=∠CAO．
因为AD=AE，AO=AO，
所以，△OAD≌△OAE．因此，∠ODA=∠OEA．
故∠ODB=∠OEC．
解析
证明：由O是△BCI的外心，知∠BOI=2∠BCI=∠BCA．同理，∠COI=∠CBA．
则∠BOC=∠BOI+∠COI=∠BCA+∠CBA=180°-∠BAC．
于是，A，B，O，C 四点共圆．
由OB=OC，知∠BAO=∠CAO．
因为AD=AE，AO=AO，
所以，△OAD≌△OAE．因此，∠ODA=∠OEA．
故∠ODB=∠OEC．
如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=______度．
正确答案
解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=180°-100°=80°，而∠OBC+∠OCB=
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∴∠BAC=180°-160°=20°．
故答案为20．
解析
解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=180°-100°=80°，而∠OBC+∠OCB=
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∴∠BAC=180°-160°=20°．
故答案为20．
如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点（异于A、B），过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E．求证：CB=CE．
正确答案
证明：如图所示，连接BE
∵AB为半圆O的直径，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AD
又∵直线l⊥AD
∴BE∥l
∴∠DCE=∠CBE
∵直线l为圆O的切线
∴∠CEB=∠DCE
∴∠CEB=∠CBE
∴CE=CB
解析
证明：如图所示，连接BE
∵AB为半圆O的直径，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AD
又∵直线l⊥AD
∴BE∥l
∴∠DCE=∠CBE
∵直线l为圆O的切线
∴∠CEB=∠DCE
∴∠CEB=∠CBE
∴CE=CB
（2015•汕头一模）如图，O是半圆的圆心，直径AB=2
正确答案
2
解析
解：连接BC，则∠ACB=90°，∠ABP=90°，
∴BC=
△ABC∽△APB，
∴
∴
故答案为：2
正确答案
16
解析
解：连接OD，则OD⊥CD．
∵∠ABC=90°，∴CD、CB为⊙O的两条切线．
∴根据切线长定理得：CD=BC=6．
在Rt△OCD中，sin∠OCD=
∴tan∠OCD=
∴AB=2OD=16．
故答案为16．
（1）求证：O、B、D、E四点共圆；
（2）若AB=4，AC=5，DM=1，求DE的长度．
正确答案
（1）证明：连接BE、OE，则
∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC
又∵D是BC的中点，
∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．
又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．
可得∠OED=∠OBD=90°，
因此，O、B、D、E四点共圆；
（2）解：延长DO交圆O于点H，
∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．
可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．
∵OH=
∴2DE2=DM•AC+DM•AB．
∵AB=4，AC=5，DM=1，
∴
解析
（1）证明：连接BE、OE，则
∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC
又∵D是BC的中点，
∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．
又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．
可得∠OED=∠OBD=90°，
因此，O、B、D、E四点共圆；
（2）解：延长DO交圆O于点H，
∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．
可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．
∵OH=
∴2DE2=DM•AC+DM•AB．
∵AB=4，AC=5，DM=1，
∴
圆的外切正十二边形的面积为12，则该圆的面积为______．
正确答案
（2+
解析
解：设正十二边形的外接圆的半径为r，内切圆的半径为R，则
∵圆的外切正十二边形的面积为12，
∴12×
∴r=2，
∴R=
∴圆的面积为π×R2=（2+
故答案为：（2+
正确答案
解析
解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，
由弦切角定理得：
∴∠CAD=∠B=60°．
故选B．
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