- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；
（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．
正确答案
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，从而OP⊥l．
因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．
（Ⅱ）解：由上知OP=
所以BD=2OP-AC=6，
过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD-AC=6-4=2，
在Rt△ABE中，AE=
∴CD=4
解析
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，从而OP⊥l．
因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．
（Ⅱ）解：由上知OP=
所以BD=2OP-AC=6，
过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD-AC=6-4=2，
在Rt△ABE中，AE=
∴CD=4
（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？
正确答案
解析
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，（3分）
∴
∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2
解：（2）直线FA与⊙O相切．（6分）
理由如下：
连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=
∴BF=BO=
∵AB=2
∴BF=BO=AB，即△ABO为等边三角形，∠BFA=∠BAF
∴∠BAO=∠OBA=60°，又∵∠OBA=∠BFA+∠BAF
∴∠BFA=∠BAF=30°
∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°．
∴直线FA与⊙O相切．（8分）
求证：（1）AD=AE；（2）AB•AE=AC•DB．
正确答案
解析
证明：（1）∵∠ADE=∠APD+∠PAD，∠AED=∠CPE+∠C，
又∠APD=∠CPE，∠PAD=∠C．
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE．
（2）∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠C，
∴△APB∽△CPA，得 
∵∠APE=∠BPD，∠AED=∠ADE=∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得 
∴
∴AB•AE=AC•DB．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；
（Ⅱ）若HE=2a，求ED．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…（2分）
由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，
又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB
∴∠DBE=∠DBC…（5分）
（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB
∴∠ADB=90°，
又由（1）得∠DBE=∠DBH，
∵HE=2a，
∴ED=a．
解析
（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…（2分）
由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，
又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB
∴∠DBE=∠DBC…（5分）
（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB
∴∠ADB=90°，
又由（1）得∠DBE=∠DBH，
∵HE=2a，
∴ED=a．
正确答案
解析
解：连接CB．
∵PA、PB是QO的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴∠PAB=60°；
又∵AC是QO的直径，
∴CA⊥PA，∠ABC=90°，
∴∠CAB=30°，
而AC=12，
∴在Rt△ABC中，cos30°=
∴AB=12×
正确答案
解析
解：∵∠BAC=∠APB，
∠C=∠BAP，
∴△PAB∽△ACB，
∴
∴AB2=PB•BC=7×5=35，
∴AB=
故答案为：
正确答案
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠EAD=∠BAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD∥AE，
∴∠AED+∠ODE=180°，
∵DE⊥AC，即∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
解析
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠EAD=∠BAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD∥AE，
∴∠AED+∠ODE=180°，
∵DE⊥AC，即∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E．已知BC=10，AD=4．那么直线CE与以点O为圆心，
正确答案
解析
又BA⊥DA，
∴OD∥AB．
∵OB=OC，
∴CF=EF，
∴OD⊥CE，
则四边形AEFD是矩形，得EF=AD=4．
连接OE．
在直角三角形OEF中，根据勾股定理得OF=
即圆心O到CE的距离大于圆的半径，则直线和圆相离．
故选A．
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE•CD．
正确答案
解：（Ⅰ）因为
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故
即BC2=BE×CD．（10分）
解析
解：（Ⅰ）因为
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故
即BC2=BE×CD．（10分）
正确答案
30
解析
解：连接OD，则OD垂直于切线，
根据切割线定理可得PD2=PE•PF，
∴PE=2，
∴圆的直径是4，
在直角三角形POD中，
OD=2，PO=4，
∴∠P=30°，
∴∠DEF=60°，
∴∠DFP=30°，
故答案为：30°
A2π
B
Cπ
D
正确答案
解析
解：CPD的弧长=
APB的弧长=
∴APB与CPD的弧长之和为2π．
故选A．
正确答案
解析
解：连接OC和OB，
∵弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，
BC=
∴AB=2BC=8cm．
故选D．
如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于点B，圆O的半径为2，PB=3，则PA的长为______．
正确答案
解析
解：由题意，利用切割线定理可得PA2=3×（3+2+2）=21，
∴PA=
故答案为：
正确答案
解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C；
∵
连接AC、BC，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=80°，
在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°；
则有①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°；
②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°．
解析
解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C；
∵
连接AC、BC，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=80°，
在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°；
则有①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°；
②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°．
正确答案
4π
解析
解：∵CD是圆O的切线，∴∠ABC=∠ACD=30°，
∴在直角三角形ACD中，AD=1，∴AC=2，
∴在直角三角形ABC中，AC=2，∴AB=4，
∴圆的半径是2，从而圆的面积是4π．
故填：4π．
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