热门试卷

见解析

证明　∵四边形ABCD为矩形，

∴OA＝OC，OB＝OD，又AC＝DB，

∴OA＝OC＝OB＝OD.

则点A、B、C、D到点O的距离相等，

∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．

因为EC平分∠ACB, 所以∠ACE=∠ECB,又因为∠ACE=∠ABE,所以∠ABE=∠ECB,所以∽,, .

略

解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.

故∠ECD=∠EBA，

所以CD//AB.  …………5分

（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC

从而∠FED=∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，

又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.

所以∠AFG+∠GBA=180°.

故A，B，G，F四点共圆   …………10分

略

(1)见解析

(2)

(1)∵PA,PB切⊙O于A,B两点,

∴∠PBA=∠PAB

又BC∥PA

∴∠PAB=∠ABC

又∠ADC=∠ABC(同弧所对的圆周角相等)

∴∠PBA=∠ADC

又AB∥MC

∴∠PBA=∠M

∴∠ADC=∠M

∴AD∥PM

(2) 连接OP,OB,则OB⊥PB

∵OB=1,PB=2

∴OP=

∴AB=

连接AC

∵BC∥PQ

∴AC=AB=,∠CAQ=∠BAP

又AB∥CQ

∴∠Q=∠BAP,∴∠Q=∠CAQ,即CQ=CA=

显然△PAB∽△CAQ

∴AQ=

由切割线定理得

AQ2=QC·QD()2=×QDQD==×

∴CD=QC-QD=-×=×=(此时D点在AC弧上)

（1）略

（2）EF=2．  

解：（1）连结OF．∵DF切⊙O于F，∴∠OFD=90°．∴∠OFC+∠CFD=90°．

∵OC=OF，∴∠OCF=∠OF   C．∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．

∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE．∵DF是⊙O的切线,∴DF2=DB·D   A．

∴DE2=DB·D A．----------------------------------5分

（2），CO=，  ．

∵CE·EF= AE·EB= （+2）（-2）=8，

∴EF=2．                                 ……………………10分

见解析

证明　(1)如图③，连接BE.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∵∠ACB＝∠AEB，

∴∠ABC＝∠AEB.

∴△ABD∽△AEB.

∴AB∶AE＝AD∶AB，

即AB2＝AD·AE.

(2)如图④，连接BE、EC，

∵四边形ABCE内接于⊙O，

∴∠CED＝∠ABC，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠CED＝∠ACB，

∵∠AEC＝180°－∠CED，

∠ACD＝180°－∠ACB，

∴∠AEC＝∠ACD，∴△ACE∽△ADC，

∴＝，∴AB2＝AD·AE.

证明：（Ⅰ），

又          （5分）              

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，

∴ΔADC∽ΔACE

又

                                   （10分）

略

连接BC设相交于点，，∵AB是线段CD的垂直平分线，

∴AB是圆的直径，∠ACB＝90°………………………2分

则，．由射影定理得，

即有，解得（舍）或 …………8分

∴，即．………10分

略

解：（1）由切割线定理：PC2=PA·PB=（2+4）×2=12。所以PC=2。（4分）

（2）由相交弦定理：CQ·QD=AQ·QB，所以CQ（5-CQ）=4，得：CQ2-5CQ+4=0，

解得：CQ=5（舍去）或CQ=1，所以CQ的长为1。（10分）

略

（1）详见解析；（2）详见解析

试题分析：（1）比例问题，常常考虑通过相似三角形证明在本题中，注意两组相似三角形：△∽△，∽，利用这两组相似三角形中的相似比，通过等量代换即可得证

（2）连结因为弦切角等于同弧所对的圆周角，又由已知，所以又因为同弧对的圆周角相等，所以，由此得△∽△，从而，结合（1）得，又因为，所以△∽△ 

试题解析：（1）因为△∽△，所以

同理

又因为，所以，即                  5分

（2）因为，，

所以△∽△，即

故

又因为，

所以△∽△                                         10分

（1）见解析（2）

本试题主要是考查了四点共圆的证明以及圆的半径的求解综合运用。

（1）由于连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，结合根与系数的关系可知△ADE∽△ACB，那么因此  ∠ADE=∠ACB ， 所以C,B,D,E四点共圆。

（2）m="4," n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故  AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

结合平行关系得到结论。

解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ， 所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m="4," n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故  AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为5