热门试卷

（1）解：取BD中点为F，连结OF，由题意知，OF∥AC，OF=AC．

∵AC为圆O的切线，BC为割线，

∴CA2=CD•CB，

由，∴BC=6，

∴BD=4，BF=2

在Rt△OBF中，由勾股定理得，．（5分）

（2）证明：由（1）知，OA∥BD，OA=BD

∴四边形OADB为平行四边形，

又∵E为AB的中点，

∴OD与AB交于点E，

∴O，E，D三点共线．（5分）

（1）解：取BD中点为F，连结OF，

由题意知，OF∥AD，OF=AD，

∵AD为圆O的切线，BD为割线，

∴AD2=DE•DB，

由AD=2，DE=2，

∴BD=6，

∴BE=4，BF=2，

在Rt△OBF中，由勾股定理得，．（5分

（2）证明：由（1）知，OA∥BE，OA=BE，

∴四边形OAEB为平行四边形，

又∵H为AB的中点，

∴OE与AB交于点H，

∴O，H，E三点共线．（10分）

证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．

∴∠EAB+∠EBA=90°．

∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．

∴∠FEB=∠EAB．

∴∠CEB=∠EAB．

（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，

又∠CEB=∠FEB，EB公用．

∴△CEB≌△FEB．

∴CB=FB．

同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．

在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．

∴EF2=AD•CB．

证明：连接OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=90°，

所以∠OEB+∠BEP=90°，

因为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，

因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE+∠BDO=90°…（5分）

故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，

又因为PE切⊙O于点E，所以PE2=PA•PC，

故PD2=PA•PC…（10分）

证明：（1）连接BD，OD，OE，则∠BDC=∠BDA=90°，

∵E为AB的中点，∴=BE，

∴OD2+DE2=OB2+BE2=OE2，∴∠ODE=90°．

∴直线DE为圆O的切线；

（2）连接BF，∵BC为⊙O的直径，∴BF⊥CE，

∴在RT△BCE中，CF•CE=BC2，

同理在RT△ABC中，CD•CA=BC2，

∴CD•CA=CF•CB．

（1）证明：连接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四边形ABDC为平行四边形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，∴△OEB≌△CED（AAS），∴S阴影=S扇形BOC．

∴S阴影==6π．

答：阴影部分的面积是6π．

证明：连结OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP．

又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．

又OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，

所以∠OBT=∠TBA，

即BT平分∠OBA．

证明：（Ⅰ）连接OD，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD

∵∠BAC的平分线是AD

∴∠OAD=∠DAC

∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（3分）

又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD

∵OD是⊙O的半径

∴DE是⊙O的切线．…（5分）

（Ⅱ）连接BC、DB，过D作DH⊥AB于H，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

Rt△ABC中，

∵OD∥AE，∴∠DOH=∠CAB，

∴．

∵Rt△HOD中，，

∴，设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，

∴Rt△HOD中，DH==4x，AH=AO+OH=8x，

Rt△HAD中，AD2=AH2+DH2=80x2…（8分）

∵∠BAD=∠DAE，∠AED=∠ADB=90°

∴△ADE∽△ADB，可得，

∴AD2=AE•AB=AE•10x，而AD2=80x2

∴AE=8x

又∵OD∥AE，

∴△AEF∽△ODF，可得…（10分）

证明：过P作EF的平行线MN，分别交AB，AC的延长线于点M，N，则∠PMB=∠AEO=90°-∠OAE，

∵O是△ABC的外心，

∴∠OAE==90°-∠ACB，

∴∠PMB=∠ACB，

∵PB是圆O的切线，

∴∠PBM=∠ACB，

∴∠PMB=∠PBM，

∴PM=PB．

同理PN=PC，

∵PB=PC，

∴PM=PN，

∴AP平分线段MN，

∵EF∥MN，

∴直线AP平分线段EF．